Um analista de preços declara que os preços de monitores de computador de LCD são normalmente distribuídos, com uma média de
e um desvio padrão de
. Qual é a probabilidade de um monitor de LCD, selecionado aleatoriamente, custar menos de R$ 200? Você seleciona aleatoriamente 10 monitores de LCD. Qual é a probabilidade de que o custo médio deles seja menor que
? Compare essas duas probabilidades.
Dica: Os preços são normalmente distribuídos, sendo assim, você pode determinar
através de uma mudança de variáveis e utilizando a tabela da normal padrão. Na sequência você deve utilizar o T.L.C com
e
.
Dica: Os preços são normalmente distribuídos, sendo assim, você pode determinar
Passo 1
Vamos lá! O enunciado fala sobre preços de monitores de LCD que seguem uma distribuição normal, com média de R$190 e desvio padrão de R$48. Precisamos calcular duas probabilidades:
- A probabilidade de um monitor custar menos de R$200.
- A probabilidade de que, ao selecionar 10 monitores aleatoriamente, a média deles seja menor que R$200.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição normal e o Teorema do Limite Central.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a probabilidade de um único monitor custar menos de R$200. Como os preços são normalmente distribuídos, podemos usar a padronização para encontrar essa probabilidade.
A padronização é feita com a fórmula:
onde:
- $ X $ é o valor que queremos encontrar a probabilidade,
- $ \mu $ é a média,
- $ \sigma $ é o desvio padrão.
Passo 3
Aplicando os valores:
Agora, precisamos encontrar $ P(Z < 0,2083) $, que é a probabilidade de $ Z $ ser menor que 0,2083 na tabela da distribuição normal padrão.
Passo 4
Consultando a tabela da normal padrão, $ P(Z < 0,2083) $ é aproximadamente 0,5832. Isso significa que há cerca de 58,32% de chance de um monitor custar menos de R$200.
Passo 5
Agora, vamos calcular a probabilidade de que a média de 10 monitores seja menor que R$200. Para isso, usamos o Teorema do Limite Central, que diz que a média de uma amostra de tamanho $ n $ também segue uma distribuição normal, com:
Passo 6
Calculando os novos parâmetros:
Passo 7
Agora, padronizamos novamente para encontrar a probabilidade:
Vamos encontrar $ P(Z < 0,658) $ na tabela da normal padrão.
Passo 8
Consultando a tabela, $ P(Z < 0,658) $ é aproximadamente 0,7454. Isso significa que há cerca de 74,54% de chance de que a média de 10 monitores seja menor que R$200.
Passo 9
Comparando as duas probabilidades:
- Probabilidade de um único monitor custar menos de R$200: 58,32%
- Probabilidade da média de 10 monitores ser menor que R$200: 74,54%
Isso mostra que a probabilidade de a média ser menor é maior do que a probabilidade de um único monitor ser menor que R$200.
Resposta
A probabilidade de um único monitor custar menos de R$200 é aproximadamente 58,32%, e a probabilidade de que a média de 10 monitores seja menor que R$200 é aproximadamente 74,54%. A probabilidade da média ser menor é maior que a de um único monitor.