O diretor de admissões de uma faculdade deseja estimar a idade média de todos os estudantes atualmente matriculados. Em uma amostra aleatória de 20 estudantes, a idade média encontrada é de 22,9 anos. De estudos anteriores, o desvio padrão conhecido é de 1,5 ano, e a população é normalmente distribuída. Construa um intervalo de confiança de 90 % da idade média da população. R: 22,3

Passo 1

Então, a gente tem aqui um diretor de admissões que quer saber qual é a idade média dos estudantes da faculdade. Ele pegou uma amostra aleatória de 20 estudantes e descobriu que a média das idades é 22,9 anos. Ele já sabe, de pesquisas anteriores, que o desvio padrão da população é 1,5 ano e que as idades seguem uma distribuição normal. A tarefa é construir um intervalo de confiança de 90% para a idade média da população. Para isso, vamos usar conceitos de estatística inferencial, especificamente o intervalo de confiança para a média quando conhecemos o desvio padrão da população.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que um intervalo de confiança nos dá uma faixa de valores dentro da qual acreditamos que a média real da população esteja, com um certo nível de confiança. No caso, queremos 90% de confiança.

Passo 3

Como conhecemos o desvio padrão da população ( sigma = 1,5), e a distribuição é normal, usamos a fórmula do intervalo de confiança para a média quando sigma é conhecido:
barx pm z times (sigmaraizn)
Aqui, barx é a média da amostra, z é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança, sigma é o desvio padrão da população e n é o tamanho da amostra.

Passo 4

Vamos encontrar o valor de z para um intervalo de confiança de 90%. Para isso, precisamos encontrar o valor que deixa 5% em cada extremidade da distribuição (já que 90% está no meio). Consultando a tabela de distribuição normal, encontramos que z approx 1,645.

Passo 5

Agora, calculamos o erro padrão da média, que é sigmaraizn:
1,5raiz20 approx 1,54,472 approx 0,335

Passo 6

Multiplicamos o valor de z pelo erro padrão:
1,645 times 0,335 approx 0,551

Passo 7

Finalmente, construímos o intervalo de confiança subtraindo e somando esse valor da média da amostra:
22,9 - 0,551 approx 22,349
22,9 + 0,551 approx 23,451
Arredondando, temos:
22,3 < mu < 23,5

Resposta

O intervalo de confiança de 90% para a idade média da população é 22,3 < mu < 23,5.

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