diretor de admissões de uma faculdade deseja estimar a idade média de todos os estudantes atualmente matriculados. Em uma amostra aleatória de 20 estudantes, a idade média encontrada é de 22,9 anos. De estudos anteriores, o desvio padrão conhecido é de 1,5 ano, e a população é normalmente distribuída. Construa um intervalo de confiança de
da idade média da população. R:
Passo 1
Então, a gente tem aqui um diretor de admissões que quer saber qual é a idade média dos estudantes da faculdade. Ele pegou uma amostra aleatória de 20 estudantes e descobriu que a média das idades é 22,9 anos. Ele já sabe, de pesquisas anteriores, que o desvio padrão da população é 1,5 ano e que as idades seguem uma distribuição normal. A tarefa é construir um intervalo de confiança de 90% para a idade média da população. Para isso, vamos usar conceitos de estatística inferencial, especificamente o intervalo de confiança para a média quando conhecemos o desvio padrão da população.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que um intervalo de confiança nos dá uma faixa de valores dentro da qual acreditamos que a média real da população esteja, com um certo nível de confiança. No caso, queremos 90% de confiança.
Passo 3
Como conhecemos o desvio padrão da população (
), e a distribuição é normal, usamos a fórmula do intervalo de confiança para a média quando
é conhecido:
Aqui,
é a média da amostra,
é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança,
é o desvio padrão da população e
é o tamanho da amostra.
Passo 4
Vamos encontrar o valor de
para um intervalo de confiança de 90%. Para isso, precisamos encontrar o valor que deixa 5% em cada extremidade da distribuição (já que 90% está no meio). Consultando a tabela de distribuição normal, encontramos que
.
Passo 5
Agora, calculamos o erro padrão da média, que é
:
Passo 6
Multiplicamos o valor de
pelo erro padrão:
Passo 7
Finalmente, construímos o intervalo de confiança subtraindo e somando esse valor da média da amostra:
Arredondando, temos:
Resposta
O intervalo de confiança de 90% para a idade média da população é
.