Anderson tem em sua coleção de miniaturas entre 150 e 200 carrinhos. Se os enfileirar de 12 em 12, de 15 em 15 ou de 20 em 20, sempre sobrarão 3 carrinhos. Quantos carrinhos Anderson tem em sua coleção?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o número de carrinhos que o Anderson tem na coleção, que está entre 150 e 200. A gente precisa descobrir esse número sabendo que, se ele tentar organizar os carrinhos em grupos de 12, 15 ou 20, sempre vão sobrar 3 carrinhos. Para resolver isso, vamos usar um pouco de matemática envolvendo múltiplos e restos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que sempre sobra 3 carrinhos quando dividimos em grupos de 12, 15 ou 20. Isso quer dizer que o número total de carrinhos, que vamos chamar de $ n $, deixa resto 3 quando dividido por esses números. Em termos matemáticos, podemos escrever:
n
n equiv 3 pmod12
n equiv 3 pmod15
Isso significa que $ n $ é 3 a mais que um múltiplo de 12, 15 e 20.

Passo 3

Então, podemos reescrever essas equações como:
n = 12k + 3
n = 15m + 3
n = 20p + 3
Onde $ k $, $ m $ e $ p $ são números inteiros. Isso quer dizer que $ n - 3 $ deve ser múltiplo de 12, 15 e 20 ao mesmo tempo.

Passo 4

Para encontrar um número que seja múltiplo de 12, 15 e 20, precisamos achar o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) desses números. Vamos calcular o MMC de 12, 15 e 20.
Fatorando cada número:
  • 12 = $ 2^2 \times 3 $
  • 15 = $ 3 \times 5 $
  • 20 = $ 2^2 \times 5 $
O MMC é o produto de todos os fatores primos, tomando a maior potência de cada:
2^2 times 3
Então, $ n - 3 $ deve ser múltiplo de 60.

Passo 5

Agora, sabemos que:
n - 3 = 60q
Onde $ q $ é um número inteiro. Assim:
q
Precisamos encontrar valores de $ q $ que fazem $ n $ estar entre 150 e 200.

Passo 6

Vamos testar valores de $ q $ para ver quais se encaixam no intervalo:
Para $ q = 2 $:
q
Para $ q = 3 $:
q = 2
Para $ q = 4 $:
n = 60 times 2 + 3 = 123 (menor que 150)

Resposta

O Anderson tem 183 carrinhos na sua coleção.

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