Anderson tem em sua coleção de miniaturas entre 150 e 200 carrinhos. Se os enfileirar de 12 em 12, de 15 em 15 ou de 20 em 20, sempre sobrarão 3 carrinhos. Quantos carrinhos Anderson tem em sua coleção?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o número de carrinhos que o Anderson tem na coleção, que está entre 150 e 200. A gente precisa descobrir esse número sabendo que, se ele tentar organizar os carrinhos em grupos de 12, 15 ou 20, sempre vão sobrar 3 carrinhos. Para resolver isso, vamos usar um pouco de matemática envolvendo múltiplos e restos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que sempre sobra 3 carrinhos quando dividimos em grupos de 12, 15 ou 20. Isso quer dizer que o número total de carrinhos, que vamos chamar de $ n $, deixa resto 3 quando dividido por esses números. Em termos matemáticos, podemos escrever:
Isso significa que $ n $ é 3 a mais que um múltiplo de 12, 15 e 20.
Passo 3
Então, podemos reescrever essas equações como:
Onde $ k $, $ m $ e $ p $ são números inteiros. Isso quer dizer que $ n - 3 $ deve ser múltiplo de 12, 15 e 20 ao mesmo tempo.
Passo 4
Para encontrar um número que seja múltiplo de 12, 15 e 20, precisamos achar o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) desses números. Vamos calcular o MMC de 12, 15 e 20.
Fatorando cada número:
- 12 = $ 2^2 \times 3 $
- 15 = $ 3 \times 5 $
- 20 = $ 2^2 \times 5 $
O MMC é o produto de todos os fatores primos, tomando a maior potência de cada:
Então, $ n - 3 $ deve ser múltiplo de 60.
Passo 5
Agora, sabemos que:
Onde $ q $ é um número inteiro. Assim:
Precisamos encontrar valores de $ q $ que fazem $ n $ estar entre 150 e 200.
Passo 6
Vamos testar valores de $ q $ para ver quais se encaixam no intervalo:
Para $ q = 2 $:
Para $ q = 3 $:
Para $ q = 4 $:
Resposta
O Anderson tem 183 carrinhos na sua coleção.