Um anel circular, de raio R , foi homogeneamente carregado com carga total Q . Calcule seu campo elétrico na direção axial z , no centro do anel.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um anel circular com raio $ R $ que está carregado de maneira uniforme com uma carga total $ Q $. Nosso objetivo aqui é calcular o campo elétrico na direção axial $ z $ exatamente no centro do anel. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como a lei de Coulomb e o princípio de superposição de campos elétricos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico gerado por uma carga pontual é dado por:
onde $ k $ é a constante eletrostática, $ Q $ é a carga, $ r $ é a distância entre a carga e o ponto onde estamos calculando o campo, e $ \hat{r} $ é o vetor unitário na direção de $ r $.
Passo 3
No caso do anel carregado, cada pedacinho de carga no anel vai gerar um campo elétrico. Mas como o anel é simétrico e a carga está distribuída de maneira uniforme, podemos usar o princípio de superposição para somar todos esses campos elétricos.
Passo 4
Vamos colocar o anel no plano $ xy $ com o centro na origem. A direção axial $ z $ é perpendicular ao plano do anel. No centro do anel ($ z = 0 $), para cada pedacinho de carga que gera um campo em uma direção, tem outro pedacinho diametralmente oposto que gera um campo igual e oposto.
Passo 5
Devido a essa simetria, os componentes do campo elétrico na direção $ xy $ se anulam, e só restam os componentes na direção $ z $. Mas como estamos calculando exatamente no centro, a distância $ z $ é zero, então não há contribuição na direção $ z $ também.
Passo 6
Portanto, somando todas as contribuições, percebemos que o campo elétrico resultante no centro do anel é zero.
Resposta
O campo elétrico no centro do anel é nulo, ou seja, $ \vec{E} = 0 $.