Uma empresa produz um determinado produto com o custo definido pela seguinite função C(x)=x²-80x+3000. Considerando o custo C em reais e X a quantidade de unidades produzidas, determine a quantidade de unidades para que o custo seja MINIMO e o valor desse custo minimo

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de custo $ C(x) = x^2 - 80x + 3000 $, onde $ C $ representa o custo em reais e $ x $ é a quantidade de unidades produzidas. O objetivo é descobrir quantas unidades a empresa precisa produzir para que o custo seja mínimo e qual é esse custo mínimo. Para isso, vamos usar conceitos de funções quadráticas e identificar o ponto mínimo dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma da função $ C(x) = x^2 - 80x + 3000 $. Essa é uma função quadrática, que tem a forma geral $ ax^2 + bx + c $. No nosso caso, $ a = 1 $, $ b = -80 $ e $ c = 3000 $.

Passo 3

Como o coeficiente de $ x^2 $ (ou seja, $ a x^2 é a = 1 > 0 $), sabemos que o gráfico dessa função é uma parábola que abre para cima. Isso significa que a função tem um ponto mínimo.

Passo 4

Para encontrar o ponto mínimo da função quadrática, vamos calcular o valor de $ x $ onde ocorre esse mínimo. A fórmula para encontrar a coordenada $ x $ do vértice (ponto mínimo) é:
x

Passo 5

Substituindo os valores de $ a $ e $ b $ na fórmula:
a
Então, o custo mínimo ocorre quando $ x = 40 $ unidades são produzidas.

Passo 6

Agora, vamos calcular o valor desse custo mínimo substituindo $ x = 40 $ na função original:
x = 40

Passo 7

Calculando cada termo:
40^2 = 1600
80 times 40 = 3200
Substituindo de volta na equação:
C(40) = 1600 - 3200 + 3000 = (1600 - 3200) + 3000 = (-1600) + 3000 = 1400

Resposta

A empresa deve produzir 40 unidades para que o custo seja mínimo, e o valor desse custo mínimo é R$ 1.400.

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