Três ingleses, quatro americanos e cinco franceses serão dispostos em fila em linha reta de modo que as pessoas da mesma nacionalidade estejam sempre juntas. De quantas maneiras distintas a fila poderá ser formada de modo que o primeiro da fila seja um francês?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre três ingleses, quatro americanos e cinco franceses que vão formar uma fila. A condição é que as pessoas da mesma nacionalidade fiquem sempre juntas e que o primeiro da fila seja um francês. Vamos usar conhecimentos de combinatória para resolver isso, especialmente permutação de grupos e fatoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar cada nacionalidade como um grupo. Assim, temos três grupos: Ingleses, Americanos e Franceses. Mas como o primeiro da fila precisa ser francês, o grupo dos franceses vai sempre ocupar a primeira posição na fila.
Passo 3
Agora, vamos pensar em quantas maneiras podemos organizar os grupos restantes. Depois dos franceses, restam os grupos de ingleses e americanos. Como são dois grupos, podemos organizá-los de
maneiras diferentes.
Passo 4
Dentro do grupo dos franceses, temos 5 pessoas. Como o primeiro da fila é francês, precisamos escolher qual dos 5 será esse primeiro. Depois de escolher, as outras 4 pessoas francesas podem ser organizadas de
maneiras.
Mas como o primeiro está fixo, temos:
Então, as maneiras de organizar os franceses são
.
Passo 5
Agora, vamos organizar os ingleses e os americanos dentro de seus respectivos grupos.
- Ingleses: 3 pessoas, podem ser organizados de
maneiras.
- Americanos: 4 pessoas, podem ser organizados de
maneiras.
Passo 6
Para encontrar o total de maneiras distintas de organizar a fila, multiplicamos as formas de organizar os grupos e as formas de organizar as pessoas dentro de cada grupo.
Resposta
O número de maneiras distintas de formar a fila é 34.560.