Três ingleses, quatro americanos e cinco franceses serão dispostos em fila em linha reta de modo que as pessoas da mesma nacionalidade estejam sempre juntas. De quantas maneiras distintas a fila poderá ser formada de modo que o primeiro da fila seja um francês?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre três ingleses, quatro americanos e cinco franceses que vão formar uma fila. A condição é que as pessoas da mesma nacionalidade fiquem sempre juntas e que o primeiro da fila seja um francês. Vamos usar conhecimentos de combinatória para resolver isso, especialmente permutação de grupos e fatoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar cada nacionalidade como um grupo. Assim, temos três grupos: Ingleses, Americanos e Franceses. Mas como o primeiro da fila precisa ser francês, o grupo dos franceses vai sempre ocupar a primeira posição na fila.

Passo 3

Agora, vamos pensar em quantas maneiras podemos organizar os grupos restantes. Depois dos franceses, restam os grupos de ingleses e americanos. Como são dois grupos, podemos organizá-los de 2! maneiras diferentes.
2! = 2 times 1 = 2

Passo 4

Dentro do grupo dos franceses, temos 5 pessoas. Como o primeiro da fila é francês, precisamos escolher qual dos 5 será esse primeiro. Depois de escolher, as outras 4 pessoas francesas podem ser organizadas de 4! maneiras.
5! = 5 times 4 times 3 times 2 times 1 = 120
Mas como o primeiro está fixo, temos:
4! = 4 times 3 times 2 times 1 = 24
Então, as maneiras de organizar os franceses são 5 times 4! = 5 times 24 = 120.

Passo 5

Agora, vamos organizar os ingleses e os americanos dentro de seus respectivos grupos.
  • Ingleses: 3 pessoas, podem ser organizados de 3! maneiras.
3! = 3 times 2 times 1 = 6
  • Americanos: 4 pessoas, podem ser organizados de 4! maneiras.
4! = 4 times 3 times 2 times 1 = 24

Passo 6

Para encontrar o total de maneiras distintas de organizar a fila, multiplicamos as formas de organizar os grupos e as formas de organizar as pessoas dentro de cada grupo.
Total = 2! times 5! times 3! times 4! = 2 times 120 times 6 times 24

Resposta

O número de maneiras distintas de formar a fila é 34.560.

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