Um anel com 4 cm de raio está apoiado no plano xy com seu centro na origem. O anel possui uma carga uniforme de 8 nC . Uma pequena partícula de massa m=6 mg e carga de 5 nC é colocada em x=3 cm e liberada. Determine a velocidade da partícula quando estiver em uma grande distância do anel. Admita que os efeitos gravitacionais sejam desprezíveis.
l r=4 cdot 10^-2 m q=8 cdot 10^-9 C m=6 cdot 10^-6 kg q0=5 cdot 10^-9 c x1=3 cdot 10^-2 m

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um anel carregado com raio de 4 cm apoiado no plano xy, com carga total de 8,nC. Uma partícula pequena, com massa de 6,mg e carga de 5,nC, é colocada a 3,cm do centro do anel e liberada. Precisamos descobrir qual a velocidade dessa partícula quando ela estiver bem longe do anel. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática e conservação de energia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças envolvidas. Como estamos ignorando os efeitos da gravidade, a única força que atua na partícula é a força elétrica de repulsão entre a carga do anel e a carga da partícula.

Passo 3

Para calcular a velocidade final da partícula, vamos usar o princípio da conservação da energia. A energia potencial elétrica inicial será convertida em energia cinética quando a partícula estiver a uma distância infinita do anel.

Passo 4

Vamos calcular a energia potencial elétrica inicial ( U). A energia potencial entre uma carga q0 e o anel carregado pode ser dada por:
U = q0 cdot V(x)
onde V(x) é o potencial elétrico no ponto x devido ao anel.

Passo 5

O potencial elétrico no eixo de simetria de um anel carregado é dado por:
V(x) = 14pivarepsilon0 cdot Qraizr^2 + x^2
onde:
  • Q é a carga do anel,
  • r é o raio do anel,
  • x é a distância do centro do anel até a partícula.

Passo 6

Substituindo os valores conhecidos:
V(x) = 14pi cdot 8.85 times 10^-12,F/m cdot 8 times 10^-9,Craiz(4 times 10^-2,m)^2 + (3 times 10^-2,m)^2
Calculando o denominador:
raiz(0.04)^2 + (0.03)^2 = raiz0.0016 + 0.0009 = raiz0.0025 = 0.05,m
Então:
V(x) = 14pi cdot 8.85 times 10^-12 cdot 8 times 10^-90.05 approx 9 times 10^9,N·m^2/C^2 cdot 8 times 10^-9,C0.05,m = 72 times 10^00.05 = 1440,V

Passo 7

Agora, calculamos a energia potencial elétrica:
U = q0 cdot V(x) = 5 times 10^-9,C cdot 1440,V = 7.2 times 10^-6,J

Passo 8

Com a energia potencial inicial conhecida, usamos a conservação de energia para encontrar a velocidade final. A energia potencial inicial se transforma em energia cinética:
U = 12 m v^2
Resolvendo para v:
v = raiz2Um = raiz2 cdot 7.2 times 10^-6,J6 times 10^-6,kg = raiz14.4 times 10^-66 times 10^-6 = raiz2.4 approx 1.55,m/s

Resposta

A velocidade da partícula quando estiver em uma grande distância do anel é aproximadamente 1,55,m/s.

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