Considere o caso do movimento de projéteis sob a gravidade em duas dimensões, encontre as equações de movimento tanto nas coordenadas cartesianas quanto nas polares . JUSTIFIQUE TODAS AS CONTAS.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício sobre o movimento de projéteis sob a gravidade em duas dimensões. Isso envolve entender como um objeto se move no ar, influenciado apenas pela gravidade. Para resolver isso, vamos precisar usar as coordenadas cartesianas e polares, além de aplicar as leis do movimento de Newton.
Passo 2
Primeiro, vamos trabalhar com as coordenadas cartesianas (x e y). Nesse sistema, a posição do projétil é descrita por suas coordenadas horizontais (x) e verticais (y) em função do tempo (t).
Passo 3
Considerando que a única força atuando no projétil é a gravidade, que age na direção vertical (y) para baixo, temos que a aceleração horizontal (
) é zero e a aceleração vertical (
) é
, onde
é a aceleração da gravidade (
).
Passo 4
Integrando a aceleração horizontal, como
, obtemos a velocidade horizontal constante:
E a posição horizontal:
Onde
é a velocidade inicial na direção x e
é a posição inicial na direção x.
Passo 5
Agora, integrando a aceleração vertical
, obtemos a velocidade vertical:
E a posição vertical:
Onde
é a velocidade inicial na direção y e
é a posição inicial na direção y.
Passo 6
Então, as equações de movimento nas coordenadas cartesianas são:
Passo 7
Agora, vamos transformar essas equações para as coordenadas polares, onde a posição é descrita pela distância radial
e pelo ângulo
em relação ao eixo horizontal.
Passo 8
As coordenadas cartesianas e polares estão relacionadas por:
Passo 9
Para encontrar
e
, precisamos expressar as equações cartesianas em termos polares. Primeiro, encontramos
usando o teorema de Pitágoras:
Passo 10
Substituindo
e
das equações cartesianas:
Passo 11
Para encontrar
, usamos a relação:
Passo 12
Portanto, as equações de movimento nas coordenadas polares são:
Resposta
As equações de movimento para um projétil sob a gravidade em duas dimensões são:
Nas coordenadas cartesianas:
Nas coordenadas polares: