Considere o caso do movimento de projéteis sob a gravidade em duas dimensões, encontre as equações de movimento tanto nas coordenadas cartesianas quanto nas polares . JUSTIFIQUE TODAS AS CONTAS.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício sobre o movimento de projéteis sob a gravidade em duas dimensões. Isso envolve entender como um objeto se move no ar, influenciado apenas pela gravidade. Para resolver isso, vamos precisar usar as coordenadas cartesianas e polares, além de aplicar as leis do movimento de Newton.

Passo 2

Primeiro, vamos trabalhar com as coordenadas cartesianas (x e y). Nesse sistema, a posição do projétil é descrita por suas coordenadas horizontais (x) e verticais (y) em função do tempo (t).

Passo 3

Considerando que a única força atuando no projétil é a gravidade, que age na direção vertical (y) para baixo, temos que a aceleração horizontal ( ax) é zero e a aceleração vertical ( ay) é -g, onde g é a aceleração da gravidade ( 9,8 , m/s^2).

Passo 4

Integrando a aceleração horizontal, como ax = 0, obtemos a velocidade horizontal constante:
vx(t) = vx0
E a posição horizontal:
x(t) = vx0 cdot t + x0
Onde vx0 é a velocidade inicial na direção x e x0 é a posição inicial na direção x.

Passo 5

Agora, integrando a aceleração vertical ay = -g, obtemos a velocidade vertical:
vy(t) = vy0 - g cdot t
E a posição vertical:
y(t) = vy0 cdot t - 12 g cdot t^2 + y0
Onde vy0 é a velocidade inicial na direção y e y0 é a posição inicial na direção y.

Passo 6

Então, as equações de movimento nas coordenadas cartesianas são:
x(t) = vx0 cdot t + x0
y(t) = vy0 cdot t - 12 g cdot t^2 + y0

Passo 7

Agora, vamos transformar essas equações para as coordenadas polares, onde a posição é descrita pela distância radial r e pelo ângulo theta em relação ao eixo horizontal.

Passo 8

As coordenadas cartesianas e polares estão relacionadas por:
x = r cdot cos(theta)
y = r cdot sin(theta)

Passo 9

Para encontrar r(t) e theta(t), precisamos expressar as equações cartesianas em termos polares. Primeiro, encontramos r(t) usando o teorema de Pitágoras:
r(t) = raizx(t)^2 + y(t)^2

Passo 10

Substituindo x(t) e y(t) das equações cartesianas:
r(t) = raiz(vx0 cdot t + x0)^2 + (vy0 cdot t - 12 g cdot t^2 + y0)^2

Passo 11

Para encontrar theta(t), usamos a relação:
theta(t) = arctan(y(t)x(t)) = arctan(vy0 cdot t - 12 g cdot t^2 + y0vx0 cdot t + x0)

Passo 12

Portanto, as equações de movimento nas coordenadas polares são:
r(t) = raiz(vx0 cdot t + x0)^2 + (vy0 cdot t - 12 g cdot t^2 + y0)^2
theta(t) = arctan(vy0 cdot t - 12 g cdot t^2 + y0vx0 cdot t + x0)

Resposta

As equações de movimento para um projétil sob a gravidade em duas dimensões são:
Nas coordenadas cartesianas:
x(t) = vx0 cdot t + x0
y(t) = vy0 cdot t - 12 g cdot t^2 + y0
Nas coordenadas polares:
r(t) = raiz(vx0 cdot t + x0)^2 + (vy0 cdot t - 12 g cdot t^2 + y0)^2
theta(t) = arctan(vy0 cdot t - 12 g cdot t^2 + y0vx0 cdot t + x0)

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