Encontre as equações de movimento do problema de força central V(r)=-kr em coordenadas esféricas. Indique quais as quantidades conservadas. JUSTIFIQUE TODAS AS CONTAS.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos as equações de movimento de uma força central com o potencial $ V® = -\frac{k}{r} $ usando coordenadas esféricas. Além disso, precisamos identificar quais quantidades são conservadas nesse sistema. Para isso, vamos precisar dos conceitos de mecânica newtoniana, leis de Newton em coordenadas esféricas e entender o que significa uma força central.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas esféricas, a posição de uma partícula é descrita por $ r $ (distância ao centro), $ \theta $ (ângulo polar) e $ \phi $ (ângulo azimutal). A força central depende apenas da distância $ r $ e aponta sempre para o centro. Isso simplifica as coisas porque o movimento fica confinado a um único plano.

Passo 3

Vamos aplicar a segunda lei de Newton, que diz que a força resulta na aceleração da partícula: $ \mathbf{F} = m\mathbf{a} $. Em coordenadas esféricas, a aceleração tem componentes radiais e angulares. Como a força é central, não há componentes angulares na força, ou seja, $ F_\theta = 0 $ e $ F_\phi = 0 $.

Passo 4

Agora, vamos escrever as equações de movimento separadamente para a direção radial e para as direções angulares.
Para a direção radial:
Fr = m( ddotr - rdottheta^2 - rsin^2theta dotphi^2 )
Como a força central só tem componente radial:
-kr^2 = m( ddotr - rdottheta^2 - rsin^2theta dotphi^2 )
Para as direções angulares, como não há força, temos:
Ftheta = 0 = m( rddottheta + 2dotrdottheta - rsintheta costheta dotphi^2 )
Fphi = 0 = m( rsintheta ddotphi + 2dotrsintheta dotphi + 2rcostheta dottheta dotphi )

Passo 5

Observamos que as equações para as direções angulares não envolvem a força, o que indica que há quantidade de movimento angular conservada. Isso significa que o momento angular total $ \mathbf{L} $ é constante.
Além disso, a ausência de dependência temporal e angular no potencial sugere conservação da energia total do sistema.

Passo 6

Resumindo, as equações de movimento são:
Radial:
ddotr = L^2m^2 r^3 - km r^2
Onde $ L $ é o momento angular, que é conservado.
As equações angulares indicam que:
L

Resposta

As equações de movimento para a força central $ V® = -\frac{k}{r} $ em coordenadas esféricas são:
V(r) = -kr
ddotr = L^2m^2 r^3 - km r^2
dottheta = 0
As quantidades conservadas nesse sistema são o momento angular $ \mathbf{L} $ e a energia total. Isso ocorre porque a força é central e o potencial não depende de $ \theta $ ou $ \phi $, garantindo a conservação dessas grandezas.

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