Um anel de cobre de
a
tem diâmetro interno
. Uma esfera de alumínio a
tem um diâmetro
. A esfera é colocada acima do anel até que os dois atinjam o equilíbrio térmico, sem perda de calor para o ambiente. A esfera se ajusta exatamente ao anel na temperatura do equilíbrio. Dados: coeficiente de dilatação linear do cobre:
; coeficiente de dilatação linear do alumínio:
; calor específico do cobre:
; calor específico do alumínio:
. Qual a temperatura de equilíbrio?
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo e o que precisamos saber para resolver. Temos um anel de cobre e uma esfera de alumínio com diâmetros e temperaturas iniciais diferentes. A esfera é colocada no anel e eles trocam calor até alcançarem uma temperatura de equilíbrio, sem perder calor para o ambiente. Precisamos descobrir qual é essa temperatura de equilíbrio.
Para resolver isso, vamos precisar entender dois conceitos principais:
- Dilatação Térmica: Como os materiais se expandem ou contraem com a mudança de temperatura.
- Calor Sensível: A quantidade de calor que um material absorve ou libera quando sua temperatura muda.
Vamos usar essas ideias para encontrar a temperatura final quando o anel e a esfera estiverem em equilíbrio.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a dilatação térmica. A fórmula para dilatação linear é:
Onde:
-
é a variação no comprimento. -
é o comprimento inicial. -
é o coeficiente de dilatação linear do material. -
é a variação de temperatura.
No nosso caso, queremos que o diâmetro do anel de cobre se ajuste ao diâmetro da esfera de alumínio na temperatura de equilíbrio $ T $. Então:
Para o cobre:
Para o alumínio:
Aqui, a esfera está esfriando de 100°C para $ T $, por isso $ (T - 100) $.
Como no equilíbrio os diâmetros devem ser iguais:
Substituindo as equações:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para $ T $. Primeiro, substituímos os valores dados:
- $ D_{inicial} = 2,54000 , cm $
- $ d_{inicial} = 2,54508 , cm $
- $ \alpha_{Cu} = 1,7 \times 10^{-5} , /^\circC $
- $ \alpha_{Al} = 2,3 \times 10^{-5} , /^\circC $
Substituindo na equação:
Vamos simplificar passo a passo.
Passo 4
Primeiro, calculamos os termos de dilatação:
Para o cobre:
Para o alumínio:
Substituindo de volta na equação:
Passo 5
Agora, vamos expandir e rearranjar a equação para isolar $ T $:
Calculando $ 5,843 \times 10^{-5} \times 100 = 0,005843 $:
Simplificando os termos constantes:
Calculando a diferença dos coeficientes de T:
Então:
Passo 6
Agora, isolamos $ T $:
Calculando a diferença:
Agora, dividimos ambos os lados por $ 1,525 \times 10^{-5} $:
Resposta
A temperatura de equilíbrio é aproximadamente $ 50,03^\circC $.