Um anel de cobre de 20,0 g a 0,000^circ C tem diâmetro interno D=2,54000 cm. Uma esfera de alumínio a 100^circ C tem um diâmetro d=2,54508 cm. A esfera é colocada acima do anel até que os dois atinjam o equilíbrio térmico, sem perda de calor para o ambiente. A esfera se ajusta exatamente ao anel na temperatura do equilíbrio. Dados: coeficiente de dilatação linear do cobre: 1,7 times 10^-5 / C^o; coeficiente de dilatação linear do alumínio: 2,3 times 10^-5 / C^o; calor específico do cobre: 386 J / kg cdot K; calor específico do alumínio: 900 J / kg cdot K. Qual a temperatura de equilíbrio?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo e o que precisamos saber para resolver. Temos um anel de cobre e uma esfera de alumínio com diâmetros e temperaturas iniciais diferentes. A esfera é colocada no anel e eles trocam calor até alcançarem uma temperatura de equilíbrio, sem perder calor para o ambiente. Precisamos descobrir qual é essa temperatura de equilíbrio.
Para resolver isso, vamos precisar entender dois conceitos principais:
  1. Dilatação Térmica: Como os materiais se expandem ou contraem com a mudança de temperatura.
  2. Calor Sensível: A quantidade de calor que um material absorve ou libera quando sua temperatura muda.
Vamos usar essas ideias para encontrar a temperatura final quando o anel e a esfera estiverem em equilíbrio.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a dilatação térmica. A fórmula para dilatação linear é:
De
Onde:
  • De é a variação no comprimento.
  • L0 é o comprimento inicial.
  • alpha é o coeficiente de dilatação linear do material.
  • De é a variação de temperatura.
No nosso caso, queremos que o diâmetro do anel de cobre se ajuste ao diâmetro da esfera de alumínio na temperatura de equilíbrio $ T $. Então:
Para o cobre:
T
Para o alumínio:
Dfinal = Dinicial + Dinicial times alphaCu times T
Aqui, a esfera está esfriando de 100°C para $ T $, por isso $ (T - 100) $.
Como no equilíbrio os diâmetros devem ser iguais:
dfinal = dinicial + dinicial times alphaAl times (T - 100)
Substituindo as equações:
T

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para $ T $. Primeiro, substituímos os valores dados:
  • $ D_{inicial} = 2,54000 , cm $
  • $ d_{inicial} = 2,54508 , cm $
  • $ \alpha_{Cu} = 1,7 \times 10^{-5} , /^\circC $
  • $ \alpha_{Al} = 2,3 \times 10^{-5} , /^\circC $
Substituindo na equação:
T
Vamos simplificar passo a passo.

Passo 4

Primeiro, calculamos os termos de dilatação:
Para o cobre:
2,54000 times 1,7 times 10^-5 times T = 4,318 times 10^-5 times T
Para o alumínio:
2,54508 times 2,3 times 10^-5 times (T - 100) = 5,843 times 10^-5 times (T - 100)
Substituindo de volta na equação:
2,54000 + 4,318 times 10^-5 times T = 2,54508 + 5,843 times 10^-5 times (T - 100)

Passo 5

Agora, vamos expandir e rearranjar a equação para isolar $ T $:
T
Calculando $ 5,843 \times 10^{-5} \times 100 = 0,005843 $:
2,54000 + 4,318 times 10^-5 T = 2,54508 + 5,843 times 10^-5 T - 5,843 times 10^-5 times 100
Simplificando os termos constantes:
5,843 times 10^-5 times 100 = 0,005843
2,54000 + 4,318 times 10^-5 T = 2,54508 + 5,843 times 10^-5 T - 0,005843
Calculando a diferença dos coeficientes de T:
2,54000 = 2,54508 - 0,005843 + (termos com T)
Então:
2,54000 = 2,539237 + (5,843 times 10^-5 T - 4,318 times 10^-5 T)

Passo 6

Agora, isolamos $ T $:
T
Calculando a diferença:
2,54000 - 2,539237 = 1,525 times 10^-5 T
Agora, dividimos ambos os lados por $ 1,525 \times 10^{-5} $:
0,000763 = 1,525 times 10^-5 T

Resposta

A temperatura de equilíbrio é aproximadamente $ 50,03^\circC $.

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