Uma bola de borracha deixada cair de uma altura de 1,80m é rebatida várias vezes pelo chão, perdendo
de sua energia cinética de cada vez. Depois de quantas colisões a bola não conseguirá se elevar acima de 0,90m?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui! Temos uma bola de borracha que cai de uma altura de 1,80 metros e, a cada vez que bate no chão, ela perde 10% da sua energia cinética. Nosso objetivo é descobrir quantas vezes a bola bate no chão antes de não conseguir mais subir além de 0,90 metros. Vamos precisar usar conceitos de energia e progressão geométrica para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia potencial da bola no ponto mais alto (quando ela está parada antes de cair) é convertida em energia cinética no momento em que toca o chão. A fórmula da energia potencial é:
onde:
- $ E_p $ é a energia potencial,
- $ m $ é a massa da bola,
- $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente
), - $ h $ é a altura.
Nesse caso, como estamos lidando com porcentagens da energia, a massa da bola e a aceleração da gravidade não vão mudar a proporcionalidade, então podemos focar apenas nas alturas.
Passo 3
Como a bola perde 10% da sua energia cinética a cada colisão, isso significa que ela mantém 90% da energia após cada batida. Como a energia está diretamente relacionada à altura que a bola alcança, a nova altura após cada colisão será 90% da altura anterior.
Então, se a altura inicial é $ h_0 = 1,80 , m $, a altura após a primeira colisão será:
Passo 4
Seguindo esse raciocínio, a altura após cada colisão forma uma progressão geométrica, onde cada termo é 0,9 vezes o termo anterior. A fórmula geral para a altura após $ n $ colisões é:
Nosso objetivo é encontrar o menor valor de $ n $ tal que $ h_n < 0,90 , m $.
Passo 5
Vamos substituir os valores na fórmula:
Primeiro, dividimos os dois lados por 1,80 para simplificar:
Passo 6
Para resolver essa inequação exponencial, vamos usar o logaritmo. Aplicando o logaritmo natural (ln) nos dois lados:
Utilizando a propriedade dos logaritmos $ \ln(a^b) = b \cdot \ln(a) $:
Agora, isolamos $ n $:
Calculando os valores:
Então:
Passo 7
Como o número de colisões deve ser um número inteiro, arredondamos para cima. Portanto, a bola precisará bater 7 vezes no chão para não conseguir mais subir acima de 0,90 metros.
Resposta
A bola não conseguirá se elevar acima de 0,90 metros após 7 colisões.