Uma bola de borracha deixada cair de uma altura de 1,80m é rebatida várias vezes pelo chão, perdendo 10 % de sua energia cinética de cada vez. Depois de quantas colisões a bola não conseguirá se elevar acima de 0,90m?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui! Temos uma bola de borracha que cai de uma altura de 1,80 metros e, a cada vez que bate no chão, ela perde 10% da sua energia cinética. Nosso objetivo é descobrir quantas vezes a bola bate no chão antes de não conseguir mais subir além de 0,90 metros. Vamos precisar usar conceitos de energia e progressão geométrica para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia potencial da bola no ponto mais alto (quando ela está parada antes de cair) é convertida em energia cinética no momento em que toca o chão. A fórmula da energia potencial é:
Ep = m cdot g cdot h
onde:
  • $ E_p $ é a energia potencial,
  • $ m $ é a massa da bola,
  • $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente Ep ²),
  • $ h $ é a altura.
Nesse caso, como estamos lidando com porcentagens da energia, a massa da bola e a aceleração da gravidade não vão mudar a proporcionalidade, então podemos focar apenas nas alturas.

Passo 3

Como a bola perde 10% da sua energia cinética a cada colisão, isso significa que ela mantém 90% da energia após cada batida. Como a energia está diretamente relacionada à altura que a bola alcança, a nova altura após cada colisão será 90% da altura anterior.
Então, se a altura inicial é $ h_0 = 1,80 , m $, a altura após a primeira colisão será:
h0 = 1,80 , m

Passo 4

Seguindo esse raciocínio, a altura após cada colisão forma uma progressão geométrica, onde cada termo é 0,9 vezes o termo anterior. A fórmula geral para a altura após $ n $ colisões é:
n
Nosso objetivo é encontrar o menor valor de $ n $ tal que $ h_n < 0,90 , m $.

Passo 5

Vamos substituir os valores na fórmula:
1,80 times (0,9)^n < 0,90
Primeiro, dividimos os dois lados por 1,80 para simplificar:
(0,9)^n < 0,901,80
(0,9)^n < 0,5

Passo 6

Para resolver essa inequação exponencial, vamos usar o logaritmo. Aplicando o logaritmo natural (ln) nos dois lados:
ln((0,9)^n) < ln(0,5)
Utilizando a propriedade dos logaritmos $ \ln(a^b) = b \cdot \ln(a) $:
ln(a^b) = b cdot ln(a)
Agora, isolamos $ n $:
n cdot ln(0,9) < ln(0,5)
Calculando os valores:
n
n > ln(0,5)ln(0,9)
Então:
ln(0,5) approx -0,6931

Passo 7

Como o número de colisões deve ser um número inteiro, arredondamos para cima. Portanto, a bola precisará bater 7 vezes no chão para não conseguir mais subir acima de 0,90 metros.

Resposta

A bola não conseguirá se elevar acima de 0,90 metros após 7 colisões.

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