Um anel de cobre de
a
tem diâmetro interno
. Uma esfera de alumínio a
tem um diâmetro
. A esfera é colocada acima do anel até que os dois atinjam o equilíbrio térmico, sem perda de calor para o ambiente. A esfera se ajusta exatamente ao anel na temperatura do equilíbrio. Dados: coeficiente de dilatação linear do cobre:
; coeficiente de dilatação linear do alumínio:
; calor específico do cobre:
; calor específico do alumínio:
. Qual é a massa da esfera?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um anel de cobre e uma esfera de alumínio com temperaturas e dimensões diferentes. O objetivo é descobrir qual é a massa da esfera de alumínio quando elas atingirem o equilíbrio térmico, ou seja, quando tiverem a mesma temperatura e a esfera se ajustar exatamente ao anel. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dilatação térmica e equilíbrio de calor.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que quando a temperatura de um material muda, suas dimensões também mudam. Isso é chamado de dilatação térmica. A dilatação linear é quando há um aumento ou diminuição no comprimento de um material devido à variação de temperatura.
A fórmula para a dilatação linear é:
Onde:
-
é a variação no comprimento, -
é o comprimento inicial, -
é o coeficiente de dilatação linear, -
é a variação de temperatura.
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula para o anel de cobre e para a esfera de alumínio.
Para o anel de cobre:
-
(diâmetro interno inicial) -
-
-
é a temperatura de equilíbrio que queremos encontrar.
A variação de comprimento do anel de cobre será:
Para a esfera de alumínio:
-
(diâmetro inicial) -
-
A variação de comprimento da esfera de alumínio será:
Passo 4
No equilíbrio térmico, as variações de comprimento devem fazer com que o diâmetro da esfera se ajuste exatamente ao diâmetro do anel. Ou seja:
Substituindo as expressões das variações de comprimento:
Passo 5
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar
.
Primeiro, simplificamos:
Agora, vamos calcular os termos constantes:
Substituindo de volta:
Vamos reorganizar a equação:
Calculando os valores:
Então:
Passo 6
Agora que encontramos a temperatura de equilíbrio, vamos calcular a quantidade de calor trocada entre a esfera de alumínio e o anel de cobre. Como não há perda de calor para o ambiente, o calor perdido pela esfera será igual ao calor ganho pelo anel.
A fórmula para o calor é:
Onde:
-
é o calor, -
é a massa, -
é o calor específico, -
é a variação de temperatura.
Para a esfera de alumínio:
Para o anel de cobre:
Primeiro, precisamos encontrar a massa do anel. Sabemos que a massa do anel é 20,0 g, ou 0,020 kg.
Primeiro, precisamos encontrar a massa do anel. Sabemos que a massa do anel é 20,0 g, ou 0,020 kg.
Como o calor ganho pelo cobre é igual ao calor perdido pelo alumínio:
Passo 7
Agora, vamos resolver para
:
Calculando os valores:
Convertendo para gramas:
Resposta
A massa da esfera de alumínio é aproximadamente 8,48 gramas.