Um anel de cobre de 20,0 g a 0,000^circ C tem diâmetro interno D=2,54000 cm. Uma esfera de alumínio a 100^circ C tem um diâmetro d=2,54508 cm. A esfera é colocada acima do anel até que os dois atinjam o equilíbrio térmico, sem perda de calor para o ambiente. A esfera se ajusta exatamente ao anel na temperatura do equilíbrio. Dados: coeficiente de dilatação linear do cobre: 1,7 times 10^-5 / C^o; coeficiente de dilatação linear do alumínio: 2,3 times 10^-5 / C^o; calor específico do cobre: 386 J / kg cdot K; calor específico do alumínio: 900 J / kg cdot K. Qual é a massa da esfera?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um anel de cobre e uma esfera de alumínio com temperaturas e dimensões diferentes. O objetivo é descobrir qual é a massa da esfera de alumínio quando elas atingirem o equilíbrio térmico, ou seja, quando tiverem a mesma temperatura e a esfera se ajustar exatamente ao anel. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dilatação térmica e equilíbrio de calor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que quando a temperatura de um material muda, suas dimensões também mudam. Isso é chamado de dilatação térmica. A dilatação linear é quando há um aumento ou diminuição no comprimento de um material devido à variação de temperatura.
A fórmula para a dilatação linear é:
De
Onde:
  • De é a variação no comprimento,
  • L0 é o comprimento inicial,
  • alpha é o coeficiente de dilatação linear,
  • De é a variação de temperatura.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula para o anel de cobre e para a esfera de alumínio.
Para o anel de cobre:
  • Lcobre,0 = 2,54000 cm (diâmetro interno inicial)
  • alphacobre = 1,7 times 10^-5 / ^circC
  • Tcobre,0 = 0^circC
  • Teq é a temperatura de equilíbrio que queremos encontrar.
A variação de comprimento do anel de cobre será:
De
Para a esfera de alumínio:
  • Lalumínio,0 = 2,54508 cmí (diâmetro inicial)
  • alphaalumínio = 2,3 times 10^-5 / ^circCí
  • Talumínio,0 = 100^circCí
A variação de comprimento da esfera de alumínio será:
Deí

Passo 4

No equilíbrio térmico, as variações de comprimento devem fazer com que o diâmetro da esfera se ajuste exatamente ao diâmetro do anel. Ou seja:
Lcobre,0 + Deíí
Substituindo as expressões das variações de comprimento:
2,54000 + 2,54000 cdot 1,7 times 10^-5 cdot Teq = 2,54508 + 2,54508 cdot 2,3 times 10^-5 cdot (Teq - 100)

Passo 5

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar Teq.
Primeiro, simplificamos:
2,54000 + 2,54000 cdot 1,7 times 10^-5 cdot Teq = 2,54508 + 2,54508 cdot 2,3 times 10^-5 cdot Teq - 2,54508 cdot 2,3 times 10^-5 cdot 100
Agora, vamos calcular os termos constantes:
2,54508 cdot 2,3 times 10^-5 cdot 100 = 2,54508 cdot 0,0023 = 0,00584372
Substituindo de volta:
2,54000 + 2,54000 cdot 1,7 times 10^-5 cdot Teq = 2,54508 + 2,54508 cdot 2,3 times 10^-5 cdot Teq - 0,00584372
Vamos reorganizar a equação:
2,54000 - 2,54508 + 0,00584372 = 2,54508 cdot 2,3 times 10^-5 cdot Teq - 2,54000 cdot 1,7 times 10^-5 cdot Teq
Calculando os valores:
-0,00508 + 0,00584372 = (2,54508 cdot 2,3 times 10^-5 - 2,54000 cdot 1,7 times 10^-5) cdot Teq
0,00076372 = (0,000058537 - 0,00004318) cdot Teq
0,00076372 = 0,000015357 cdot Teq
Então:
Teq = 0,000763720,000015357 approx 49,7^circC

Passo 6

Agora que encontramos a temperatura de equilíbrio, vamos calcular a quantidade de calor trocada entre a esfera de alumínio e o anel de cobre. Como não há perda de calor para o ambiente, o calor perdido pela esfera será igual ao calor ganho pelo anel.
A fórmula para o calor é:
Q = m cdot c cdot De
Onde:
  • Q é o calor,
  • m é a massa,
  • c é o calor específico,
  • De é a variação de temperatura.
Para a esfera de alumínio:
Qalumínio = malumínio cdot 900 cdot (100 - 49,7) íí
Para o anel de cobre:
Primeiro, precisamos encontrar a massa do anel. Sabemos que a massa do anel é 20,0 g, ou 0,020 kg.
Qcobre = 0,020 cdot 386 cdot (49,7 - 0)
Como o calor ganho pelo cobre é igual ao calor perdido pelo alumínio:
malumínio cdot 900 cdot 50,3 = 0,020 cdot 386 cdot 49,7 í

Passo 7

Agora, vamos resolver para malumínioí:
malumínio = 0,020 cdot 386 cdot 49,7900 cdot 50,3 í
Calculando os valores:
malumínio = 0,020 cdot 386 cdot 49,7900 cdot 50,3 approx 0,020 cdot 386 cdot 49,745270 approx 383,3845270 approx 0,00848 kg í
Convertendo para gramas:
0,00848 kg times 1000 = 8,48 g

Resposta

A massa da esfera de alumínio é aproximadamente 8,48 gramas.

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