Um anel de cobre tem exatamente 1,00000 cm de diâmetro à temperatura de 0^circ C. Uma esfera de alumínio tem exatamente 1,00200 cm de diâmetro à 100^circ C. A esfera é colocada na parte superior do anel, permitindo que os dois corpos adquiram equilíbrio térmico, não havendo perdas de calor para a vizinhança. A esfera atravessa o anel tão logo atinge o equilíbrio térmico. alphaAl=24 times 10^-6 ^circ C^-1 ; alphaCu=1,7 times 10^-5 ^circ C^-1 ; cAI=0,91 J / gK ; cCu=0,39 J / gK
Qual é a razão entre a massa da esfera e a massa do anel?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar a razão entre a massa da esfera de alumínio e a massa do anel de cobre quando eles alcançam o equilíbrio térmico. Estamos lidando com expansão térmica e transferência de calor. Para resolver isso, vamos usar as fórmulas de expansão térmica e o princípio da conservação de energia na transferência de calor.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como a temperatura afeta o tamanho dos materiais. Quando um objeto aquece, ele geralmente aumenta de tamanho, e quando esfria, diminui. Essa mudança no tamanho é dada pela fórmula de expansão linear:
De
Onde:
  • é a variação do comprimento,
  • é o comprimento inicial,
  • é o coeficiente de expansão linear,
  • é a mudança de temperatura.
Neste caso, estamos lidando com diâmetros, mas o conceito é o mesmo.

Passo 3

Vamos identificar as variáveis para cada material:
Alumínio (Esfera):
  • Diâmetro inicial, a
  • Coeficiente de expansão linear,
Cobre (Anel):
  • Diâmetro inicial, a
  • Coeficiente de expansão linear,
Vamos chamar a temperatura final de equilíbrio de em graus Celsius.

Passo 4

Quando a esfera e o anel alcançam o equilíbrio térmico, eles terão a mesma temperatura final DAl = DAl0 + De. A esfera, originalmente a DCu = DCu0 + De, vai esfriar, e o anel, a , vai aquecer até .
Vamos expressar os diâmetros finais:
Esfera de Alumínio:
Anel de Cobre:

Passo 5

A esfera atravessa o anel quando seus diâmetros se igualam:
DAl = DCu
Substituindo as expressões dos diâmetros finais:
1,00200 cdot (1 + 24 times 10^-6 cdot (T - 100)) = 1,00000 cdot (1 + 1,7 times 10^-5 cdot T)
Vamos resolver essa equação para encontrar .

Passo 6

Vamos simplificar a equação:
1,00200 + 1,00200 cdot 24 times 10^-6 cdot (T - 100) = 1,00000 + 1,00000 cdot 1,7 times 10^-5 cdot T
Calculando os termos:
1,00200 + 1,00200 cdot 24 times 10^-6 cdot T - 1,00200 cdot 24 times 10^-6 cdot 100 = 1,00000 + 1,00000 cdot 1,7 times 10^-5 cdot T
1,00200 + 0,000024048 cdot T - 0,00240576 = 1,00000 + 0,000017 cdot T
Simplificando:
0,99959424 + 0,000024048 cdot T = 1,00000 + 0,000017 cdot T
Subtraindo 0,000024048 cdot T = 0,00040576 + 0,000017 cdot T de ambos os lados:
0,000007048 cdot T = 0,00040576
Subtraindo T = 0,000405760,000007048 approx 57,5^circC de ambos os lados:
Finalmente, isolando :

Passo 7

Agora que encontramos a temperatura final de equilíbrio ( mAl cdot cAl cdot (100 - T) = mCu cdot cCu cdot (T - 0) ), vamos usar a conservação de energia para relacionar as massas dos materiais. A energia perdida pela esfera de alumínio deve ser igual à energia ganha pelo anel de cobre.
A equação da conservação de energia é:
Onde:
  • é a massa da esfera de alumínio,
  • é o calor específico do alumínio,
  • é a massa do anel de cobre,
  • é o calor específico do cobre.

Passo 8

Substituindo os valores conhecidos:
mAl cdot 0,91 cdot (100 - 57,5) = mCu cdot 0,39 cdot (57,5 - 0)
Calculando as diferenças de temperatura:
mAl cdot 0,91 cdot 42,5 = mCu cdot 0,39 cdot 57,5
Simplificando:
mAl cdot 38,675 = mCu cdot 22,425

Passo 9

Queremos encontrar a razão mAlmCu = 22,42538,675 approx 0,58 . Vamos isolar essa razão:

Resposta

A razão entre a massa da esfera de alumínio e a massa do anel de cobre é aproximadamente 0,58.

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