Um anel de cobre tem exatamente de diâmetro à temperatura de . Uma esfera de alumínio tem exatamente de diâmetro à . A esfera é colocada na parte superior do anel, permitindo que os dois corpos adquiram equilíbrio térmico, não havendo perdas de calor para a vizinhança. A esfera atravessa o anel tão logo atinge o equilíbrio térmico.
Qual é a razão entre a massa da esfera e a massa do anel?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar a razão entre a massa da esfera de alumínio e a massa do anel de cobre quando eles alcançam o equilíbrio térmico. Estamos lidando com expansão térmica e transferência de calor. Para resolver isso, vamos usar as fórmulas de expansão térmica e o princípio da conservação de energia na transferência de calor.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como a temperatura afeta o tamanho dos materiais. Quando um objeto aquece, ele geralmente aumenta de tamanho, e quando esfria, diminui. Essa mudança no tamanho é dada pela fórmula de expansão linear:
Onde:
  • é a variação do comprimento,
  • é o comprimento inicial,
  • é o coeficiente de expansão linear,
  • é a mudança de temperatura.
Neste caso, estamos lidando com diâmetros, mas o conceito é o mesmo.

Passo 3

Vamos identificar as variáveis para cada material:
Alumínio (Esfera):
  • Diâmetro inicial, a
  • Coeficiente de expansão linear,
Cobre (Anel):
  • Diâmetro inicial, a
  • Coeficiente de expansão linear,
Vamos chamar a temperatura final de equilíbrio de em graus Celsius.

Passo 4

Quando a esfera e o anel alcançam o equilíbrio térmico, eles terão a mesma temperatura final . A esfera, originalmente a , vai esfriar, e o anel, a , vai aquecer até .
Vamos expressar os diâmetros finais:
Esfera de Alumínio:
Anel de Cobre:

Passo 5

A esfera atravessa o anel quando seus diâmetros se igualam:
Substituindo as expressões dos diâmetros finais:
Vamos resolver essa equação para encontrar .

Passo 6

Vamos simplificar a equação:
Calculando os termos:
Simplificando:
Subtraindo de ambos os lados:
Subtraindo de ambos os lados:
Finalmente, isolando :

Passo 7

Agora que encontramos a temperatura final de equilíbrio ( ), vamos usar a conservação de energia para relacionar as massas dos materiais. A energia perdida pela esfera de alumínio deve ser igual à energia ganha pelo anel de cobre.
A equação da conservação de energia é:
Onde:
  • é a massa da esfera de alumínio,
  • é o calor específico do alumínio,
  • é a massa do anel de cobre,
  • é o calor específico do cobre.

Passo 8

Substituindo os valores conhecidos:
Calculando as diferenças de temperatura:
Simplificando:

Passo 9

Queremos encontrar a razão . Vamos isolar essa razão:

Resposta

A razão entre a massa da esfera de alumínio e a massa do anel de cobre é aproximadamente 0,58.

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