Um anel de cobre tem exatamente
de diâmetro à temperatura de
. Uma esfera de alumínio tem exatamente
de diâmetro à
. A esfera é colocada na parte superior do anel, permitindo que os dois corpos adquiram equilíbrio térmico, não havendo perdas de calor para a vizinhança. A esfera atravessa o anel tão logo atinge o equilíbrio térmico.
Qual é a razão entre a massa da esfera e a massa do anel?
Qual é a razão entre a massa da esfera e a massa do anel?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar a razão entre a massa da esfera de alumínio e a massa do anel de cobre quando eles alcançam o equilíbrio térmico. Estamos lidando com expansão térmica e transferência de calor. Para resolver isso, vamos usar as fórmulas de expansão térmica e o princípio da conservação de energia na transferência de calor.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como a temperatura afeta o tamanho dos materiais. Quando um objeto aquece, ele geralmente aumenta de tamanho, e quando esfria, diminui. Essa mudança no tamanho é dada pela fórmula de expansão linear:
Onde:
-
é a variação do comprimento, -
é o comprimento inicial, -
é o coeficiente de expansão linear, -
é a mudança de temperatura.
Neste caso, estamos lidando com diâmetros, mas o conceito é o mesmo.
Passo 3
Vamos identificar as variáveis para cada material:
Alumínio (Esfera):
- Diâmetro inicial,
a - Coeficiente de expansão linear,
Cobre (Anel):
- Diâmetro inicial,
a - Coeficiente de expansão linear,
Vamos chamar a temperatura final de equilíbrio de
em graus Celsius.
Passo 4
Quando a esfera e o anel alcançam o equilíbrio térmico, eles terão a mesma temperatura final
. A esfera, originalmente a
, vai esfriar, e o anel, a
, vai aquecer até
.
Vamos expressar os diâmetros finais:
Esfera de Alumínio:
Anel de Cobre:
Passo 5
A esfera atravessa o anel quando seus diâmetros se igualam:
Substituindo as expressões dos diâmetros finais:
Vamos resolver essa equação para encontrar
.
Passo 6
Vamos simplificar a equação:
Calculando os termos:
Simplificando:
Subtraindo
de ambos os lados:
Subtraindo
de ambos os lados:
Finalmente, isolando
:
Passo 7
Agora que encontramos a temperatura final de equilíbrio (
), vamos usar a conservação de energia para relacionar as massas dos materiais. A energia perdida pela esfera de alumínio deve ser igual à energia ganha pelo anel de cobre.
A equação da conservação de energia é:
Onde:
-
é a massa da esfera de alumínio, -
é o calor específico do alumínio, -
é a massa do anel de cobre, -
é o calor específico do cobre.
Passo 8
Substituindo os valores conhecidos:
Calculando as diferenças de temperatura:
Simplificando:
Passo 9
Queremos encontrar a razão
. Vamos isolar essa razão:
Resposta
A razão entre a massa da esfera de alumínio e a massa do anel de cobre é aproximadamente 0,58.
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e portanto
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,
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e
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.
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