Um anel dado por y^2+z^2=4 e x=0 está carregado com uma distribuição de carga uniforme de 5 mu C / m.
a) Determine D em P(3,0,0)

Passo 1

Vamos resumir a questão: temos um anel definido pela equação e , ou seja, um anel no plano com raio 2. Esse anel está carregado de forma uniforme com uma densidade linear de carga de . O que precisamos fazer é determinar o campo de deslocamento elétrico no ponto .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente sobre campos elétricos gerados por distribuições de carga. Precisaremos aplicar a Lei de Coulomb para cargas contínuas e considerar a simetria do problema para simplificar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a geometria do problema. O anel está no plano com raio . O ponto onde queremos calcular está localizado em , ou seja, no eixo , a uma distância de 3 unidades do centro do anel.

Passo 3

Como a carga está distribuída uniformemente no anel, podemos considerar um elemento infinitesimal de carga no anel. A densidade linear de carga é . Então, , onde é um elemento de comprimento no anel.

Passo 4

Vamos calcular o campo elétrico dE = 14pivarepsilon0 dq, rr^2 devido a esse elemento de carga no ponto . A contribuição de para é dada pela Lei de Coulomb:
onde:
  • é a permissividade do vácuo,
  • é o vetor unitário na direção de ,
  • é a distância entre e .

Passo 5

Devido à simetria do anel, as componentes verticais dos campos produzidos por elementos opostos se cancelam, deixando apenas a componente ao longo do eixo r = raiz(3 - 0)^2 + 0^2 + 0^2 = 3, unidades . Assim, podemos integrar apenas a componente r = raizR^2 + x^2 = raiz2^2 + 3^2 = raiz4 + 9 = raiz13 do campo.
A distância entre um ponto no anel e pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras:
Mas, na verdade, cada elemento está a uma distância variável de , então devemos considerar que:

Passo 6

A componente dEx = dE costheta do campo elétrico devido a dEx = 14pivarepsilon0 dqr^2 cdot 3raiz13 = 14pivarepsilon0 lambda, dl13 cdot 3raiz13 = 3lambda4pivarepsilon0 cdot 13^3/2 dl é:
onde .
Substituindo :

Passo 7

Integrando ao redor de todo o anel:
Ex = 3lambda4pivarepsilon0 cdot 13^3/2 integral0^2pi R dl = 3lambda4pivarepsilon0 cdot 13^3/2 cdot 2pi R
Simplificando:
Ex = 3lambda R2varepsilon0 cdot 13^3/2

Passo 8

Agora, substituímos os valores conhecidos:
lambda = 5 times 10^-6, C/m, R = 2, m, varepsilon0 = 8,85 times 10^-12, C^2/Ncdotm^2
Ex = 3 times 5 times 10^-6 times 22 times 8,85 times 10^-12 times (13)^3/2 = 30 times 10^-62 times 8,85 times 10^-12 times 46,872
Ex = 30 times 10^-68,85 times 10^-12 times 46,872 approx 30 times 10^-64,146 times 10^-10 approx 7,24 times 10^4, N/C

Resposta

O campo de deslocamento elétrico no ponto é aproximadamente na direção positiva do eixo .

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