Um anel dado por e está carregado com uma distribuição de carga uniforme de .
a) Determine D em

Passo 1

Vamos resumir a questão: temos um anel definido pela equação e , ou seja, um anel no plano com raio 2. Esse anel está carregado de forma uniforme com uma densidade linear de carga de . O que precisamos fazer é determinar o campo de deslocamento elétrico no ponto .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente sobre campos elétricos gerados por distribuições de carga. Precisaremos aplicar a Lei de Coulomb para cargas contínuas e considerar a simetria do problema para simplificar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a geometria do problema. O anel está no plano com raio . O ponto onde queremos calcular está localizado em , ou seja, no eixo , a uma distância de 3 unidades do centro do anel.

Passo 3

Como a carga está distribuída uniformemente no anel, podemos considerar um elemento infinitesimal de carga no anel. A densidade linear de carga é . Então, , onde é um elemento de comprimento no anel.

Passo 4

Vamos calcular o campo elétrico devido a esse elemento de carga no ponto . A contribuição de para é dada pela Lei de Coulomb:
onde:
  • é a permissividade do vácuo,
  • é o vetor unitário na direção de ,
  • é a distância entre e .

Passo 5

Devido à simetria do anel, as componentes verticais dos campos produzidos por elementos opostos se cancelam, deixando apenas a componente ao longo do eixo . Assim, podemos integrar apenas a componente do campo.
A distância entre um ponto no anel e pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras:
Mas, na verdade, cada elemento está a uma distância variável de , então devemos considerar que:

Passo 6

A componente do campo elétrico devido a é:
onde .
Substituindo :

Passo 7

Integrando ao redor de todo o anel:
Simplificando:

Passo 8

Agora, substituímos os valores conhecidos:

Resposta

O campo de deslocamento elétrico no ponto é aproximadamente na direção positiva do eixo .

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