Um anel dado por
e
está carregado com uma distribuição de carga uniforme de
.
a) Determine D em
a) Determine D em
Passo 1
Vamos resumir a questão: temos um anel definido pela equação
e
, ou seja, um anel no plano
com raio 2. Esse anel está carregado de forma uniforme com uma densidade linear de carga de
. O que precisamos fazer é determinar o campo de deslocamento elétrico
no ponto
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente sobre campos elétricos gerados por distribuições de carga. Precisaremos aplicar a Lei de Coulomb para cargas contínuas e considerar a simetria do problema para simplificar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a geometria do problema. O anel está no plano
com raio
. O ponto
onde queremos calcular
está localizado em
, ou seja, no eixo
, a uma distância de 3 unidades do centro do anel.
Passo 3
Como a carga está distribuída uniformemente no anel, podemos considerar um elemento infinitesimal de carga
no anel. A densidade linear de carga é
. Então,
, onde
é um elemento de comprimento no anel.
Passo 4
Vamos calcular o campo elétrico
devido a esse elemento de carga
no ponto
. A contribuição de
para
é dada pela Lei de Coulomb:
onde:
-
é a permissividade do vácuo, -
é o vetor unitário na direção de , -
é a distância entre e .
Passo 5
Devido à simetria do anel, as componentes verticais dos campos produzidos por elementos opostos se cancelam, deixando apenas a componente ao longo do eixo
. Assim, podemos integrar apenas a componente
do campo.
A distância
entre um ponto no anel e
pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras:
Mas, na verdade, cada elemento
está a uma distância variável de
, então devemos considerar que:
Passo 6
A componente
do campo elétrico devido a
é:
onde
.
Substituindo
:
Passo 7
Integrando ao redor de todo o anel:
Simplificando:
Passo 8
Agora, substituímos os valores conhecidos:
Resposta
O campo de deslocamento elétrico
no ponto
é aproximadamente
na direção positiva do eixo
.