Seja,
rhonu=cc 10r^2 m C / m^3 & 04
a) Determine o fluxo líquido que atravessa as superfícies r=2 m e r=6 m .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma densidade de carga elétrica rhonu que varia com a distância r do centro. Essa densidade é dada por:
rhonu=cc 10r^2 , mC/m^3 & 0 < r <= 4 0 & r > 4
O conteúdo principal aqui é o Fluxo Elétrico e vamos usar a Lei de Gauss para resolver. Precisaremos entender como calcular o fluxo através de superfícies esféricas a diferentes distâncias do centro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo elétrico. O fluxo elétrico, representado por Phi, mede quantas linhas de campo passam por uma superfície. A Lei de Gauss nos diz que:
Phi = oint E cdot dA = Qdentrovarepsilon0
Onde:
  • E é o campo elétrico,
  • dA é um elemento de área da superfície,
  • Qdentro é a carga total dentro da superfície,
  • varepsilon0 é a permissividade do vácuo.
Como queremos o fluxo líquido, vamos focar em calcular Qdentro para cada superfície.

Passo 3

Vamos calcular o fluxo para r = 2 m primeiro. Como 2 < 4, a densidade de carga não é zero. A carga total dentro de uma esfera de raio r é dada por:
Qdentro = integral0^r rhonu cdot 4pi r'^2 dr'
Substituindo rhonu:
Qdentro = integral0^2 10r'^2 cdot 4pi r'^2 dr' = 40pi integral0^2 dr' = 40pi [r']0^2 = 40pi cdot 2 = 80pi , mC

Passo 4

Agora, aplicamos a Lei de Gauss para encontrar o fluxo Phi:
Phi = Qdentrovarepsilon0 = 80pivarepsilon0 , mC/Vm

Passo 5

Vamos calcular agora para r = 6 m. Como 6 > 4, a densidade de carga é zero fora de r = 4 m. Então, a carga total dentro de r = 6 m é a mesma que dentro de r = 4 m.
Calculamos Qdentro para r = 4 m:
Qdentro = integral0^4 10r'^2 cdot 4pi r'^2 dr' = 40pi integral0^4 dr' = 40pi [r']0^4 = 40pi cdot 4 = 160pi , mC

Passo 6

Aplicamos novamente a Lei de Gauss:
Phi = Qdentrovarepsilon0 = 160pivarepsilon0 , mC/Vm

Resposta

O fluxo líquido que atravessa a superfície r = 2 m é 80pivarepsilon0 mC/Vm e que atravessa a superfície r = 6 m é 160pivarepsilon0 mC/Vm.

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