Uma lâmina finita
, sobre o plano
, tem uma densidade de carga dada por
. Determine
a) A carga total na lâmina;
a) A carga total na lâmina;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma lâmina finita no plano
com dimensões de
e
. A densidade de carga nessa lâmina é dada por
nanocoulombs por metro quadrado (
). Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a carga total nessa lâmina. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integração dupla, para somar todas as pequenas cargas distribuídas na área da lâmina.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a carga total (
) em uma superfície pode ser encontrada integrando a densidade de carga (
) sobre toda a área da superfície. No nosso caso, a área está definida entre
a
e
a
. Então, a fórmula fica assim:
Passo 3
Vamos substituir a expressão da densidade de carga na fórmula da integral:
Passo 4
Agora, precisamos resolver essa integral dupla. Vamos começar integrando em relação a
e depois em relação a
. Isso significa que primeiro fixamos um valor de
e integramos com respeito a
, e depois integramos o resultado com respeito a
.
Passo 5
A integração direta dessa expressão pode ser um pouco complicada devido ao termo
. Nesse caso, pode ser útil utilizar métodos numéricos ou uma substituição adequada para simplificar a integral. No entanto, para fins didáticos, vamos deixar a expressão da integral pronta para ser calculada:
Resposta
A carga total na lâmina é dada pela integral dupla: