Uma lâmina finita , sobre o plano , tem uma densidade de carga dada por . Determine
a) A carga total na lâmina;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma lâmina finita no plano com dimensões de e . A densidade de carga nessa lâmina é dada por nanocoulombs por metro quadrado ( ). Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a carga total nessa lâmina. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integração dupla, para somar todas as pequenas cargas distribuídas na área da lâmina.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a carga total ( ) em uma superfície pode ser encontrada integrando a densidade de carga ( ) sobre toda a área da superfície. No nosso caso, a área está definida entre a e a . Então, a fórmula fica assim:

Passo 3

Vamos substituir a expressão da densidade de carga na fórmula da integral:

Passo 4

Agora, precisamos resolver essa integral dupla. Vamos começar integrando em relação a e depois em relação a . Isso significa que primeiro fixamos um valor de e integramos com respeito a , e depois integramos o resultado com respeito a .

Passo 5

A integração direta dessa expressão pode ser um pouco complicada devido ao termo . Nesse caso, pode ser útil utilizar métodos numéricos ou uma substituição adequada para simplificar a integral. No entanto, para fins didáticos, vamos deixar a expressão da integral pronta para ser calculada:

Resposta

A carga total na lâmina é dada pela integral dupla:

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