(i) Determine o Campo Elétrico de um dipolo elétrico num ponto r ( y, z) distante do centro do dipolo ;(b) analise a situação quando a separação do dipolo d<.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre dipolo elétrico! Primeiro, o enunciado pede para determinar o campo elétrico de um dipolo em um ponto localizado nas coordenadas e depois analisar o que acontece quando a distância entre as cargas do dipolo é muito menor que ( ).
Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente sobre dipolos elétricos e como calcular o campo elétrico gerado por eles. Vamos precisar lembrar das fórmulas para o campo elétrico de cargas pontuais e como combiná-las para formar o campo de um dipolo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um dipolo elétrico consiste em duas cargas de mesmo valor absoluto, mas sinais opostos, separadas por uma distância . Vamos considerar que a carga positiva está em e a carga negativa em .
Para encontrar o campo elétrico total no ponto , precisamos calcular o campo elétrico devido a cada carga individualmente e depois somá-los vetorialmente.

Passo 3

Vamos calcular o campo elétrico E = 14pivarepsilon0 cdot qr^2 cdot r gerado pela carga positiva em no ponto . A fórmula do campo elétrico criado por uma carga pontual é:
onde é a distância entre a carga e o ponto onde estamos calculando o campo, e é o vetor unitário na direção de .

Passo 4

Calculamos a distância r+ = raizy^2 + (z - d2)^2 da carga positiva ao ponto r+ = (y, z - d2)r+ :
E+ = 14pivarepsilon0 cdot qr+^2 cdot r+
E o vetor unitário na direção de é:
Então, o campo elétrico da carga positiva é:

Passo 5

Analogamente, calculamos o campo elétrico r- = raizy^2 + (z + d2)^2 gerado pela carga negativa r- = (y, z + d2)r- em E- = 14pivarepsilon0 cdot -qr-^2 cdot r- :

Passo 6

O campo elétrico total E = E+ + E- no ponto E = 14pivarepsilon0 ( qr+^2 r+ - qr-^2 r- ) é a soma vetorial de e :
Substituindo as expressões:

Passo 7

Agora, para a parte (b), vamos analisar o caso em que a separação do dipolo E approx 14pivarepsilon0 cdot 3(p cdot r)r - pr^3 é muito menor que a distância ( ). Nesse caso, podemos usar uma aproximação simplificada.
Quando , as distâncias e são aproximadamente iguais a , e o vetor unitário e também são quase iguais aos vetores unitários na direção de . Assim, podemos aproximar a diferença entre os campos como sendo proporcional ao momento dipolar .
A expressão simplificada para o campo elétrico de um dipolo em uma região distante é:

Resposta

O campo elétrico de um dipolo elétrico no ponto E = 14pivarepsilon0 ( qr+^2 r+ - qr-^2 r- ) é dado por:
E approx 14pivarepsilon0 cdot 3(p cdot r)r - pr^3
Quando a separação do dipolo é muito menor que a distância ( ), o campo elétrico pode ser aproximado por:
Onde é o momento dipolar.

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