Um anel de latão de 10,00 cm de diâmetro a 20,0^circ C e uma haste de alumínio de 10,01 cm de diâmetro 20,0^circ C. Assumindo os coeficientes médios de expansão linear são constantes, (a) a que temperatura deve esta combinação ser resfriada para que o anel comece a encaixar no cilindro? Isso é atingível? (b) E se a haste de alumínio tivesse 10,02 cm de diâmetro? Seria possível o mesmo processo?
alpha latão =19,0 times 10^-6 circ C^-1 e alpha aluminio =24,0 times 10^-6 ^circ C^-1 ã

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão está nos pedindo. Temos um anel de latão com diâmetro de 10,00 cm e uma haste de alumínio com diâmetro de 10,01 cm, ambos à temperatura de 20,0°C. A pergunta quer saber para qual temperatura essa combinação deve ser resfriada para que o anel encaixe no cilindro. Além disso, queremos saber se isso é possível. No item (b), a haste tem um diâmetro um pouco maior, então vamos verificar se o mesmo processo funciona. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de expansão térmica linear e as fórmulas relacionadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é expansão térmica linear. Quando um material é aquecido ou resfriado, ele expande ou contrai. A mudança no comprimento (ou diâmetro) é dada por:
De
Onde:
  • é a mudança no comprimento,
  • é o comprimento inicial,
  • é o coeficiente de expansão linear do material,
  • é a mudança de temperatura.
Como estamos lidando com diâmetros, usaremos essa fórmula para calcular a mudança no diâmetro de ambos os materiais.

Passo 3

Vamos definir as variáveis:
  • Diâmetro inicial do anel de latão ( ã): 10,00 cm
  • Diâmetro inicial da haste de alumínio ( í): 10,01 cm
  • Coeficiente de expansão linear do latão ( ã):
  • Coeficiente de expansão linear do alumínio ( í):
  • Temperatura inicial ( ): 20,0°C
  • Temperatura final ( ): é o que queremos encontrar
Como vamos resfriar, será negativo.

Passo 4

Queremos que o diâmetro do anel de latão seja igual ao diâmetro da haste de alumínio após o resfriamento. Então:
Dlatão = Dalumínio ãí
Usando a fórmula da expansão térmica:
Dlatão0 cdot (1 + alphalatão cdot Deããíí

Passo 5

Vamos substituir os valores conhecidos na equação:
10,00 cdot (1 + 19,0 times 10^-6 cdot De
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar .

Passo 6

Primeiro, vamos expandir as expressões:
10,00 + 10,00 cdot 19,0 times 10^-6 cdot De
Simplificando:
10,00 + 0,00019 cdot 10,00 cdot De
10,00 + 0,0019 cdot De

Passo 7

Agora, vamos isolar 10,00 - 10,01 = 0,0024024 cdot De:
-0,01 = 0,0005024 cdot De
De
Dividindo ambos os lados por :

Passo 8

Como T = T0 + De, temos:

Resposta

Para que o anel de latão comece a encaixar na haste de alumínio, a combinação deve ser resfriada até aproximadamente 0,12°C. Isso é possível de ser atingido.

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