Um anel de latão de
de diâmetro a
e uma haste de alumínio de
de diâmetro
. Assumindo os coeficientes médios de expansão linear são constantes, (a) a que temperatura deve esta combinação ser resfriada para que o anel comece a encaixar no cilindro? Isso é atingível? (b) E se a haste de alumínio tivesse
de diâmetro? Seria possível o mesmo processo?
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a questão está nos pedindo. Temos um anel de latão com diâmetro de 10,00 cm e uma haste de alumínio com diâmetro de 10,01 cm, ambos à temperatura de 20,0°C. A pergunta quer saber para qual temperatura essa combinação deve ser resfriada para que o anel encaixe no cilindro. Além disso, queremos saber se isso é possível. No item (b), a haste tem um diâmetro um pouco maior, então vamos verificar se o mesmo processo funciona. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de expansão térmica linear e as fórmulas relacionadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é expansão térmica linear. Quando um material é aquecido ou resfriado, ele expande ou contrai. A mudança no comprimento (ou diâmetro) é dada por:
Onde:
-
é a mudança no comprimento, -
é o comprimento inicial, -
é o coeficiente de expansão linear do material, -
é a mudança de temperatura.
Como estamos lidando com diâmetros, usaremos essa fórmula para calcular a mudança no diâmetro de ambos os materiais.
Passo 3
Vamos definir as variáveis:
- Diâmetro inicial do anel de latão (
): 10,00 cm - Diâmetro inicial da haste de alumínio (
): 10,01 cm - Coeficiente de expansão linear do latão (
): - Coeficiente de expansão linear do alumínio (
): - Temperatura inicial (
): 20,0°C - Temperatura final (
): é o que queremos encontrar
Como vamos resfriar,
será negativo.
Passo 4
Queremos que o diâmetro do anel de latão seja igual ao diâmetro da haste de alumínio após o resfriamento. Então:
Usando a fórmula da expansão térmica:
Passo 5
Vamos substituir os valores conhecidos na equação:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar
.
Passo 6
Primeiro, vamos expandir as expressões:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos isolar
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 8
Como
, temos:
Resposta
Para que o anel de latão comece a encaixar na haste de alumínio, a combinação deve ser resfriada até aproximadamente 0,12°C. Isso é possível de ser atingido.