Uma pedra Q, de massa igual a 2,0 kg, está presa a um fio elástico que possui constante elástica K=2,0 cdot 10^2 N / m. A pedra é projetada com velocidade vQ de módulo 20 m / s, formando um ângulo de 60^circ com a horizontal. No instante do lançamento, o fio elástico estava esticado de 0,20 m. Desprezando a influência do ar e considerando g=10 m / s^2, calcule o módulo da velocidade da pedra, em m/s, no instante em que ela atinge a posição P.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos uma pedra de massa presa a um fio elástico com constante elástica . A pedra é lançada com uma velocidade inicial de formando um ângulo de com a horizontal. No momento do lançamento, o fio estava esticado em . Queremos descobrir qual é a velocidade da pedra quando ela chega na posição . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia mecânica, levando em conta energia cinética, potencial elástica e potencial gravitacional.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial da pedra nas direções horizontal e vertical. Isso ajuda a entender como a pedra se move após o lançamento.
A velocidade inicial na horizontal:
v0x = vQ cdot cos(theta) = 20 cdot cos(60^circ) = 20 cdot 0,5 = 10,m/s
E na vertical:
v0y = vQ cdot sin(theta) = 20 cdot sin(60^circ) approx 20 cdot 0,8660 approx 17,32,m/s

Passo 3

Como o movimento horizontal não sofre aceleração (desprezando a resistência do ar), a velocidade horizontal vx = v0x = 10,m/s permanece constante durante todo o movimento:

Passo 4

Para a componente vertical, vamos considerar a influência da gravidade. A velocidade vertical em qualquer instante vy = v0y - g cdot t é dada por:
onde .
Mas para encontrar a velocidade no instante em que a pedra atinge a posição , precisamos saber a altura ou a posição exata . Como não foi especificado, vamos supor que seja o ponto mais alto da trajetória.

Passo 5

No ponto mais alto, a velocidade vertical vy = 0 é zero:
0 = v0y - g cdot ttopo Rightarrow ttopo = v0yg = 17,3210 approx 1,732,s
Usando a equação anterior:

Passo 6

Agora, vamos calcular a velocidade total da pedra no ponto vP = vx = 10,m/s . No ponto mais alto, a única componente da velocidade é a horizontal:

Resposta

A velocidade da pedra na posição é de .

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