anel. Prove que o conjunto
é um ideal de
(chamamos esse ideal de Nilradical de
).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que o conjunto de todos os elementos
em um anel
que satisfazem
para algum número natural
(ou seja, elementos nilpotentes) forma um ideal de
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um ideal e o que são elementos nilpotentes em um anel.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um ideal. Um ideal
de um anel
é um subconjunto de
que satisfaz duas condições principais:
- Fechamento pela adição: Se
e estão em , então também está em . - Fechamento pela multiplicação por elementos de
: Se está em e está em , então tanto quanto estão em .
Agora, vamos considerar os elementos nilpotentes, que são aqueles para os quais existe algum
tal que
.
Passo 3
Vamos chamar o conjunto de todos esses elementos nilpotentes de
:
Precisamos mostrar que
satisfaz as duas condições de um ideal que mencionamos no passo anterior.
Passo 4
Primeira condição: fechamento pela adição.
Pegue dois elementos
e
em
. Então, existem números naturais
e
tais que:
Queremos mostrar que
também é nilpotente, ou seja, existe algum
tal que
.
Usando o binômio de Newton, expandimos
. Cada termo dessa expansão será uma combinação de potências de
e
. Se escolhermos
suficientemente grande, todas as combinações terão pelo menos uma potência de
que seja
ou maior, ou uma potência de
que seja
ou maior, fazendo com que cada termo individualmente seja zero. Assim,
, mostrando que
está em
.
Passo 5
Segunda condição: fechamento pela multiplicação por elementos de
.
Vamos pegar um elemento
em
e um elemento qualquer
em
. Sabemos que existe algum
tal que
.
Queremos mostrar que
e
também são nilpotentes. Observemos que:
Da mesma forma,
Portanto, tanto
quanto
satisfazem a condição de serem nilpotentes, ou seja, estão em
.
Resposta
Assim, mostramos que
é fechado pela adição e pela multiplicação por qualquer elemento de
. Portanto, o conjunto dos elementos nilpotentes de
forma um ideal de
, conhecido como o Nilradical de
.