é um ideal de (chamamos esse ideal de Nilradical de ).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que o conjunto de todos os elementos em um anel que satisfazem para algum número natural (ou seja, elementos nilpotentes) forma um ideal de . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um ideal e o que são elementos nilpotentes em um anel.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um ideal. Um ideal de um anel é um subconjunto de que satisfaz duas condições principais:
Fechamento pela adição: Se e estão em , então também está em .
Fechamento pela multiplicação por elementos de : Se está em e está em , então tanto quanto estão em .
Agora, vamos considerar os elementos nilpotentes, que são aqueles para os quais existe algum tal que .
Passo 3
Vamos chamar o conjunto de todos esses elementos nilpotentes de :
Precisamos mostrar que satisfaz as duas condições de um ideal que mencionamos no passo anterior.
Passo 4
Primeira condição: fechamento pela adição.
Pegue dois elementos e em . Então, existem números naturais e tais que:
Queremos mostrar que também é nilpotente, ou seja, existe algum tal que .
Usando o binômio de Newton, expandimos . Cada termo dessa expansão será uma combinação de potências de e . Se escolhermos suficientemente grande, todas as combinações terão pelo menos uma potência de que seja ou maior, ou uma potência de que seja ou maior, fazendo com que cada termo individualmente seja zero. Assim, , mostrando que está em .
Passo 5
Segunda condição: fechamento pela multiplicação por elementos de .
Vamos pegar um elemento em e um elemento qualquer em . Sabemos que existe algum tal que .
Queremos mostrar que e também são nilpotentes. Observemos que:
Da mesma forma,
Portanto, tanto quanto satisfazem a condição de serem nilpotentes, ou seja, estão em .
Resposta
Assim, mostramos que é fechado pela adição e pela multiplicação por qualquer elemento de . Portanto, o conjunto dos elementos nilpotentes de forma um ideal de , conhecido como o Nilradical de .