Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três afirmações envolvendo um número natural e o conjunto , que representa os restos da divisão dos inteiros por . As afirmações são:
Nosso objetivo é mostrar que essas três afirmações são equivalentes, ou seja, se uma delas for verdadeira, as outras também serão. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos da álgebra abstrata, como o que é um domínio e o que é um corpo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do que é um domínio. Um domínio (mais especificamente, um domínio de integridade) é um anel comutativo com identidade onde o produto de dois elementos não nulos nunca é zero. Isso significa que não há “elementos nulos divisores” no conjunto.
Além disso, um corpo é um tipo especial de domínio em que todo elemento não nulo tem um inverso multiplicativo. Em outras palavras, em um corpo, você pode dividir por qualquer número diferente de zero.
Passo 3
Vamos começar mostrando que se é primo, então é um domínio.
Prova de (a) (b):
Assume que é primo. Queremos mostrar que é um domínio.
Em , os únicos divisores de zero são os múltiplos de . Mas como estamos trabalhando módulo , e é primo, isso significa que se , então pelo Pequeno Teorema de Fermat, ou pelo fato de ser primo, ou ou deve ser congruente a zero módulo . Portanto, não há divisores de zero em , o que caracteriza um domínio.
Passo 4
Agora, vamos mostrar que se é um domínio, então é um corpo.
Sabemos que em um domínio, se todo elemento não nulo tem um inverso multiplicativo, então ele é um corpo. Em , se for um domínio, como vimos no passo anterior, não há divisores de zero. Além disso, como é finito e um domínio, ele automaticamente é um corpo. Isso ocorre porque em conjuntos finitos, a propriedade de não ter divisores de zero garante que cada elemento não nulo tem um inverso.
Passo 5
Por fim, vamos mostrar que se é um corpo, então é primo.
Assume que é um corpo. Como um corpo não tem divisores de zero, não pode ser composto, pois se fosse, existiriam números menores que que multiplicados dão , o que criaria divisores de zero em . Portanto, deve ser primo.