Mostre que C(R)=f: R R: f é contínua não é domínio.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem o conjunto C(R), que é o conjunto de todas as funções contínuas de R para R. A pergunta quer que a gente mostre que esse conjunto não é um domínio. Para isso, vamos precisar entender o que é um domínio e como verificar se um conjunto de funções tem essa propriedade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um domínio. Em álgebra, um domínio (ou domínio de integridade) é um tipo especial de anel onde não há divisores de zero. Isso significa que, se você multiplicar duas funções no domínio e o resultado for a função zero, pelo menos uma das funções multiplicadas deve ser a função zero.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o conjunto C(R). Esse conjunto é um anel com as operações de adição e multiplicação de funções. Para mostrarmos que C(R) não é um domínio, precisamos encontrar duas funções contínuas que não são a função zero, mas cuja multiplicação resulta na função zero.

Passo 4

Vamos considerar duas funções específicas:
  • Seja f(x) = x.
  • Seja g(x) = 0 & se x <= 0, 1 & se x > 0
Perceba que g(x) não é uma função constante, mas é contínua em todo R, exceto talvez em x=0. Porém, para garantir que g(x) seja contínua em todo lugar, podemos ajustar a definição em x=0 para g(0) = 0, mantendo a continuidade.

Passo 5

Agora, vamos multiplicar f(x) por g(x):
(f cdot g)(x) = f(x) cdot g(x) = x cdot g(x) = x cdot 0 = 0 & se x <= 0, x cdot 1 = x & se x > 0
Perceba que para x > 0, (f cdot g)(x) = x, que não é a função zero. Então, precisamos ajustar nosso exemplo para garantir que o produto seja a função zero em todo lugar.

Passo 6

Vamos tentar com funções diferentes:
  • Seja f(x) = 0 & se x <= 0, x & se x > 0
  • Seja g(x) = x & se x <= 0, 0 & se x > 0
Ambas as funções são contínuas em R se definirmos f(0) = 0 e g(0) = 0.

Passo 7

Agora, multiplicando f(x) por g(x):
(f cdot g)(x) = f(x) cdot g(x) = 0 cdot x = 0 & se x <= 0, x cdot 0 = 0 & se x > 0
Então, (f cdot g)(x) = 0 para todo x in R, ou seja, o produto f cdot g é a função zero.

Passo 8

No entanto, nenhuma das funções f ou g é a função zero, já que f(x) neq 0 para x > 0 e g(x) neq 0 para x <= 0. Isso significa que encontramos duas funções contínuas não nulas cujo produto é a função zero.

Resposta

Portanto, como existe um exemplo de duas funções em C(R) que não são a função zero, mas cujo produto é zero, concluímos que C(R) não é um domínio.

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