Mostre que
é contínua
não é domínio.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem o conjunto
, que é o conjunto de todas as funções contínuas de
para
. A pergunta quer que a gente mostre que esse conjunto não é um domínio. Para isso, vamos precisar entender o que é um domínio e como verificar se um conjunto de funções tem essa propriedade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um domínio. Em álgebra, um domínio (ou domínio de integridade) é um tipo especial de anel onde não há divisores de zero. Isso significa que, se você multiplicar duas funções no domínio e o resultado for a função zero, pelo menos uma das funções multiplicadas deve ser a função zero.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o conjunto
. Esse conjunto é um anel com as operações de adição e multiplicação de funções. Para mostrarmos que
não é um domínio, precisamos encontrar duas funções contínuas que não são a função zero, mas cuja multiplicação resulta na função zero.
Passo 4
Vamos considerar duas funções específicas:
- Seja
. - Seja
Perceba que
não é uma função constante, mas é contínua em todo
, exceto talvez em
. Porém, para garantir que
seja contínua em todo lugar, podemos ajustar a definição em
para
, mantendo a continuidade.
Passo 5
Agora, vamos multiplicar
por
:
Perceba que para
,
, que não é a função zero. Então, precisamos ajustar nosso exemplo para garantir que o produto seja a função zero em todo lugar.
Passo 6
Vamos tentar com funções diferentes:
- Seja
- Seja
Ambas as funções são contínuas em
se definirmos
e
.
Passo 7
Agora, multiplicando
por
:
Então,
para todo
, ou seja, o produto
é a função zero.
Passo 8
No entanto, nenhuma das funções
ou
é a função zero, já que
para
e
para
. Isso significa que encontramos duas funções contínuas não nulas cujo produto é a função zero.
Resposta
Portanto, como existe um exemplo de duas funções em
que não são a função zero, mas cujo produto é zero, concluímos que
não é um domínio.