Mostre que é contínua não é domínio.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem o conjunto , que é o conjunto de todas as funções contínuas de para . A pergunta quer que a gente mostre que esse conjunto não é um domínio. Para isso, vamos precisar entender o que é um domínio e como verificar se um conjunto de funções tem essa propriedade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um domínio. Em álgebra, um domínio (ou domínio de integridade) é um tipo especial de anel onde não há divisores de zero. Isso significa que, se você multiplicar duas funções no domínio e o resultado for a função zero, pelo menos uma das funções multiplicadas deve ser a função zero.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o conjunto . Esse conjunto é um anel com as operações de adição e multiplicação de funções. Para mostrarmos que não é um domínio, precisamos encontrar duas funções contínuas que não são a função zero, mas cuja multiplicação resulta na função zero.

Passo 4

Vamos considerar duas funções específicas:
  • Seja .
  • Seja
Perceba que não é uma função constante, mas é contínua em todo , exceto talvez em . Porém, para garantir que seja contínua em todo lugar, podemos ajustar a definição em para , mantendo a continuidade.

Passo 5

Agora, vamos multiplicar por :
Perceba que para , , que não é a função zero. Então, precisamos ajustar nosso exemplo para garantir que o produto seja a função zero em todo lugar.

Passo 6

Vamos tentar com funções diferentes:
  • Seja
  • Seja
Ambas as funções são contínuas em se definirmos e .

Passo 7

Agora, multiplicando por :
Então, para todo , ou seja, o produto é a função zero.

Passo 8

No entanto, nenhuma das funções ou é a função zero, já que para e para . Isso significa que encontramos duas funções contínuas não nulas cujo produto é a função zero.

Resposta

Portanto, como existe um exemplo de duas funções em que não são a função zero, mas cujo produto é zero, concluímos que não é um domínio.

Exercícios relacionados

Mostre que o único homomorfismo não-nulo é .
anéis. Defina:
a) Prove que é homomorfismo.
b) Prove que é sobrejetor.
c) Determine .
d) Identifique
anel. Prove que o conjunto
é um ideal de (chamamos esse ideal de Nilradical de ).
Considere a notação:
Considere agora um . Prove que são equivalentes:
(a) é um número primo.
(b) é um domínio.
© é um corpo.