Mostre que o único homomorfismo não-nulo Z Z é i dZ.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o único homomorfismo não-nulo de Z para Z é idZ. Aqui, estamos trabalhando com álgebras lineares ou grupos abelianos, especificamente com o conjunto dos inteiros Z. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um homomorfismo entre grupos e como esses homomorfismos funcionam no caso dos inteiros.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um homomorfismo de grupos. Um homomorfismo é uma função entre dois grupos que preserva a operação do grupo. No nosso caso, os grupos são (Z, +) e (Z, +). Isso significa que, se f: Z Z é um homomorfismo, então para todos a, b in Z, temos:
f(a + b) = f(a) + f(b)

Passo 3

Agora, vamos investigar quais funções f: Z Z satisfazem essa condição. Vamos assumir que existe um homomorfismo não-nulo f, ou seja, existe pelo menos um inteiro k neq 0 tal que f(k) neq 0.

Passo 4

Vamos examinar o valor de f(1). Como Z é gerado por 1, se soubermos f(1), podemos determinar f(n) para qualquer n in Z. Seja f(1) = c, onde c é algum inteiro.

Passo 5

Agora, usando a propriedade do homomorfismo, temos que:
f(n) = f(1 + 1 + dots + 1) (n vezes) = f(1) + f(1) + dots + f(1) = n cdot c
Então, para qualquer n in Z, f(n) = c cdot n.

Passo 6

Como f é não-nulo, c neq 0. Portanto, qualquer homomorfismo não-nulo de Z para Z é da forma f(n) = c cdot n, onde c é um inteiro diferente de zero.

Passo 7

Mas o enunciado pede para mostrar que o único homomorfismo não-nulo é idZ, que é a função identidade definida por idZ(n) = n. Isso corresponde ao caso onde c = 1.

Resposta

Portanto, o único homomorfismo não-nulo de Z para Z é a função identidade idZ.

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