Mostre que o único homomorfismo não-nulo é .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o único homomorfismo não-nulo de para é . Aqui, estamos trabalhando com álgebras lineares ou grupos abelianos, especificamente com o conjunto dos inteiros . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um homomorfismo entre grupos e como esses homomorfismos funcionam no caso dos inteiros.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um homomorfismo de grupos. Um homomorfismo é uma função entre dois grupos que preserva a operação do grupo. No nosso caso, os grupos são e . Isso significa que, se é um homomorfismo, então para todos , temos:

Passo 3

Agora, vamos investigar quais funções satisfazem essa condição. Vamos assumir que existe um homomorfismo não-nulo , ou seja, existe pelo menos um inteiro tal que .

Passo 4

Vamos examinar o valor de . Como é gerado por 1, se soubermos , podemos determinar para qualquer . Seja , onde é algum inteiro.

Passo 5

Agora, usando a propriedade do homomorfismo, temos que:
Então, para qualquer , .

Passo 6

Como é não-nulo, . Portanto, qualquer homomorfismo não-nulo de para é da forma , onde é um inteiro diferente de zero.

Passo 7

Mas o enunciado pede para mostrar que o único homomorfismo não-nulo é , que é a função identidade definida por . Isso corresponde ao caso onde .

Resposta

Portanto, o único homomorfismo não-nulo de para é a função identidade .

Exercícios relacionados

anéis. Defina:
a) Prove que é homomorfismo.
b) Prove que é sobrejetor.
c) Determine .
d) Identifique
Usando 15 prove que o único homomorfismo não-nulo é .
Mostre que é contínua não é domínio.
anel. Prove que o conjunto
é um ideal de (chamamos esse ideal de Nilradical de ).