Mostre que o único homomorfismo não-nulo
é
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o único homomorfismo não-nulo de
para
é
. Aqui, estamos trabalhando com álgebras lineares ou grupos abelianos, especificamente com o conjunto dos inteiros
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um homomorfismo entre grupos e como esses homomorfismos funcionam no caso dos inteiros.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um homomorfismo de grupos. Um homomorfismo é uma função entre dois grupos que preserva a operação do grupo. No nosso caso, os grupos são
e
. Isso significa que, se
é um homomorfismo, então para todos
, temos:
Passo 3
Agora, vamos investigar quais funções
satisfazem essa condição. Vamos assumir que existe um homomorfismo não-nulo
, ou seja, existe pelo menos um inteiro
tal que
.
Passo 4
Vamos examinar o valor de
. Como
é gerado por 1, se soubermos
, podemos determinar
para qualquer
. Seja
, onde
é algum inteiro.
Passo 5
Agora, usando a propriedade do homomorfismo, temos que:
Então, para qualquer
,
.
Passo 6
Como
é não-nulo,
. Portanto, qualquer homomorfismo não-nulo de
para
é da forma
, onde
é um inteiro diferente de zero.
Passo 7
Mas o enunciado pede para mostrar que o único homomorfismo não-nulo é
, que é a função identidade definida por
. Isso corresponde ao caso onde
.
Resposta
Portanto, o único homomorfismo não-nulo de
para
é a função identidade
.
Exercícios relacionados
a) Prove que
é homomorfismo.
b) Prove que é sobrejetor.
c) Determine .
d) Identifique
b) Prove que
c) Determine
d) Identifique
Usando 15 prove que o único homomorfismo não-nulo
é
.
Mostre que
é contínua
não é domínio.
é um ideal de
(chamamos esse ideal de Nilradical de
).