(a) Um anel de raio R tem uma carga total +Q uniformemente distribuída nele. Calcule o campo elétrico e o potencial elétrico no centro do anel.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de eletromagnetismo! A gente tem um anel de raio
com uma carga total
distribuída de maneira uniforme. Nosso objetivo é calcular o campo elétrico e o potencial elétrico no centro desse anel. Para isso, vamos precisar das fórmulas que descrevem o campo elétrico e o potencial gerados por distribuições de carga simétricas, usando conceitos de integração e superposição de campos.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar no campo elétrico no centro do anel. Devido à simetria circular, cada pedacinho de carga no anel gera um campo elétrico que aponta radialmente para fora ou para dentro, dependendo do sinal da carga. Mas como as cargas estão distribuídas uniformemente, os componentes verticais desses campos vão se cancelar, deixando apenas a componente ao longo do eixo central.
Passo 3
No caso do centro do anel, todas as componentes do campo elétrico geradas por pequenos elementos de carga se cancelam mutuamente. Imagine que para cada pequeno pedaço de carga que gera um campo para cima, há outro igual gerando um campo para baixo. Assim, a soma vetorial de todos esses campos resulta em zero. Portanto, o campo elétrico no centro do anel é zero.
Passo 4
Agora, vamos calcular o potencial elétrico no centro do anel. Diferente do campo elétrico, o potencial é uma grandeza escalar e, portanto, não se cancela. Para uma distribuição contínua de carga, o potencial total é a soma dos potenciais gerados por cada elemento de carga.
Passo 5
A expressão para o potencial elétrico
devido a uma carga pontual
a uma distância
é:
No nosso caso, cada elemento de carga está a uma distância
do centro do anel. Como a carga está distribuída uniformemente, podemos integrar ao longo do anel:
Passo 6
Como
é constante para todos os elementos de carga no anel, podemos tirar
da integral:
A integral de
ao longo do anel é simplesmente a carga total
:
Resposta
No centro do anel, o campo elétrico é zero e o potencial elétrico é dado por: