onde
e
são constantes. Esboce um gráfico de
em função de
, outro gráfico de
em função de
e um outro gráfico de
em função de
. Determine: (
) o valor de
para
o valor de
para
a distância total percorrida desde
até
a expressão da velocidade
em função do tempo
. (e) A aceleração deste movimento é constante ou variável? (
) Obtenha a expressão da aceleração em função do tempo
. (
) Obtenha a expressão de
em função de
. (
) Calcule os valores de
e de
para
. (i) Calcule os valores de
, de
e de
para
. Considere
em metros e
em segundos; suponha
.
Resposta: (a) 0, (b)
, ©
. (e) Variável.
(f)
. (g)
. (h)
.
(i)
.
Resposta: (a) 0, (b)
(f)
(i)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve a função
. O que a gente precisa fazer aqui é esboçar gráficos de
,
e
em função do tempo
. Além disso, temos que calcular diversos valores específicos como
em certos tempos, a velocidade, a aceleração, entre outros. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre cálculo diferencial, já que vamos derivar a função para encontrar a velocidade e a aceleração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a função
representa. Aqui,
é a posição em metros,
é o tempo em segundos,
é uma constante que representa a posição máxima que
pode atingir, e
é uma constante de decaimento. Essa função descreve um movimento onde a posição começa em 0 e se aproxima de
conforme o tempo aumenta.
Passo 3
(a) Calcular
para
Vamos substituir
na função:
Resposta (a):
Passo 4
(b) Calcular
para
Quando
tende ao infinito:
Resposta (b):
Passo 5
© Determinar a distância total percorrida de
até
A distância total percorrida é o valor final de
menos o inicial:
Resposta ©: Distância total percorrida é
Passo 6
(d) Encontrar a expressão da velocidade
em função do tempo
A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
Resposta (d):
Passo 7
(e) A aceleração é constante ou variável?
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Como a expressão para
contém
, que depende de
, a aceleração também dependerá de
. Portanto, a aceleração não é constante.
Resposta (e): A aceleração é variável.
Passo 8
(f) Obter a expressão da aceleração
em função do tempo
Vamos derivar
:
Resposta (f):
Passo 9
(g) Obter a expressão de
em função de
A partir das expressões de
e
:
Substituindo em
:
Resposta (g):
Passo 10
(h) Calcular
e
para
Para
:
Resposta (h):
,
Passo 11
(i) Calcular
,
e
para
s, com
e
Substituindo os valores na função
:
Na expressão de
:
E para
:
Arredondando:
Resposta (i):
;
;
Resposta
(a)
; (b)
; ©
; (d)
; (e) A aceleração é variável; (f)
; (g)
; (h)
,
; (i)
;
;
.
Exercícios relacionados
onde
é a aceleração da gravidade na superfície terrestre,
é o tempo em segundos e
. Considere a velocidade inicial do meteorito igual a
. Determine: (a) A aceleração do meteorito para
a velocidade do meteorito para
.
Resposta: (a) . (b)
.
Resposta: (a)
Uma barra dielétrica de espessura
é inserida entre as placas de um capacitor de placas paralelas, cuja distância de separação é
. Calcule a capacitância equivalente do sistema. Verifique que tipo de resultado é obtido para as condições
e
.
Resposta:
Resposta:
(a) Um anel de raio R tem uma carga total +Q uniformemente distribuída nele. Calcule o campo elétrico e o potencial elétrico no centro do anel.
De acordo com a lei de Plank, qual é a energia média
de um oscilador cuja energia é
, ou seja, cuja frequência é
?