x=x0(1-e^-k t)
onde x0 e k são constantes. Esboce um gráfico de x em função de t, outro gráfico de v em função de t e um outro gráfico de a em função de t. Determine: ( a ) o valor de x para t=0, (b) o valor de x para t=infty,(c) a distância total percorrida desde t=0 até t=infty,(d) a expressão da velocidade v em função do tempo t. (e) A aceleração deste movimento é constante ou variável? ( f ) Obtenha a expressão da aceleração em função do tempo t. ( g ) Obtenha a expressão de a em função de v. ( h ) Calcule os valores de v e de a para t=infty. (i) Calcule os valores de x, de v e de a para t=1 s. Considere x em metros e t em segundos; suponha k=1 s^-1, x0=2 m.
Resposta: (a) 0, (b) x0, © x0,(d) v=k x0 exp (-k t). (e) Variável.
(f) a=-k^2 x0 exp (-k t). (g) a=-k v. (h) v=0, a=0.
(i) x=1,26 m ; v=0,74 m / s ; a=-0,74 m / s^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve a função . O que a gente precisa fazer aqui é esboçar gráficos de , e em função do tempo . Além disso, temos que calcular diversos valores específicos como em certos tempos, a velocidade, a aceleração, entre outros. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre cálculo diferencial, já que vamos derivar a função para encontrar a velocidade e a aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a função representa. Aqui, é a posição em metros, é o tempo em segundos, é uma constante que representa a posição máxima que pode atingir, e é uma constante de decaimento. Essa função descreve um movimento onde a posição começa em 0 e se aproxima de conforme o tempo aumenta.

Passo 3

(a) Calcular x(0) = x0(1 - e^-k cdot 0) = x0(1 - e^0) = x0(1 - 1) = 0 para

Vamos substituir na função:
Resposta (a):

Passo 4

(b) Calcular limt to infty x(t) = x0(1 - e^-k cdot infty) = x0(1 - 0) = x0 para

Quando tende ao infinito:
Resposta (b):

Passo 5

© Determinar a distância total percorrida de Distância total = x(infty) - x(0) = x0 - 0 = x0 até

A distância total percorrida é o valor final de menos o inicial:
â
Resposta ©: Distância total percorrida é

Passo 6

(d) Encontrar a expressão da velocidade v(t) = dxdt = ddt[x0(1 - e^-kt)] = x0 cdot 0 - x0 cdot (-k)e^-kt = kx0e^-kt em função do tempo

A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
Resposta (d):

Passo 7

(e) A aceleração é constante ou variável?

A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Como a expressão para contém , que depende de , a aceleração também dependerá de . Portanto, a aceleração não é constante.
Resposta (e): A aceleração é variável.

Passo 8

(f) Obter a expressão da aceleração a(t) = dvdt = ddt[kx0e^-kt] = kx0 cdot (-k)e^-kt = -k^2x0e^-kt em função do tempo

Vamos derivar :
Resposta (f):

Passo 9

(g) Obter a expressão de v(t) = kx0e^-kt implies e^-kt = v(t)kx0 em função de a(t) = -k^2x0(v(t)kx0) = -kv(t)

A partir das expressões de e :
Substituindo em :
Resposta (g):

Passo 10

(h) Calcular v(infty) = kx0e^-k cdot infty = kx0 cdot 0 = 0 e a(infty) = -k^2x0e^-k cdot infty = -k^2x0 cdot 0 = 0 para

Para :
Resposta (h): ,

Passo 11

(i) Calcular x(1) = 2(1 - e^-1 cdot 1) approx 2(1 - 0,3679) approx 2 cdot 0,6321 approx 1,2642 , m , v(1) = 1 cdot 2 cdot e^-1 cdot 1 approx 2 cdot 0,3679 approx 0,7358 , m/s e a(1) = -1^2 cdot 2 cdot e^-1 cdot 1 approx -2 cdot 0,3679 approx -0,7358 , m/s^2 para x approx 1,26 , m; v approx 0,74 , m/s; a approx -0,74 , m/s^2 s, com e

Substituindo os valores na função :
Na expressão de :
E para :
Arredondando:
Resposta (i): ; ;

Resposta

(a) ; (b) ; © ; (d) ; (e) A aceleração é variável; (f) ; (g) ; (h) , ; (i) ; ; .

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