(a) O ângulo de difração de elétrons de 50 eV em um cristal de MgO é 55,6 graus. Qual é a distância interatômica
? (b) Qual é o ângulo de difração para elétrons de 100 eV ?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas partes aqui:
(a) Precisamos encontrar a distância entre os átomos ( ) em um cristal de MgO, sabendo que elétrons com energia de 50 eV são difratados com um ângulo de 55,6 graus.
(b) Depois, queremos saber qual seria o ângulo de difração se a energia dos elétrons fosse de 100 eV.
(a) Precisamos encontrar a distância entre os átomos (
(b) Depois, queremos saber qual seria o ângulo de difração se a energia dos elétrons fosse de 100 eV.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de difração de elétrons e a relação entre a energia dos elétrons e seu comprimento de onda. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que partículas como elétrons têm propriedades de onda, e o comprimento de onda (
) deles está relacionado à energia que possuem. A relação que liga a energia
ao comprimento de onda
é dada pela fórmula de de Broglie:
Onde:
-
é a constante de Planck ( ), -
é a massa do elétron ( ), -
é a energia do elétron em joules.
Mas como nossa energia está em elétron-volts (eV), vamos converter para joules:
Vamos calcular o comprimento de onda para a energia de 50 eV.
Passo 3
Convertendo 50 eV para joules:
Agora, substituindo na fórmula de de Broglie:
Vamos calcular o denominador primeiro:
Então:
Ou seja,
.
Passo 4
Agora, para encontrar a distância interatômica
, vamos usar a Lei de Bragg, que relaciona o ângulo de difração, o comprimento de onda da partícula e a distância entre os planos cristalinos:
Onde:
-
é a ordem da difração (vamos considerar para a primeira ordem), -
é o comprimento de onda, -
é a distância interatômica que queremos encontrar, -
é o ângulo de difração.
Rearranjando para encontrar
:
Passo 5
Vamos substituir os valores conhecidos na equação. Para a parte (a):
-
, -
, -
.
Calculando:
Primeiro, calculamos
:
Então:
Ou seja,
, que é igual a
.
Passo 6
Agora, para a parte (b), queremos saber o ângulo de difração para elétrons com energia de 100 eV. Vamos seguir os mesmos passos:
Primeiro, calculamos o comprimento de onda para 100 eV.
Convertendo 100 eV para joules:
Agora, usando a fórmula de de Broglie:
Calculando o denominador:
Então:
Ou seja,
.
Passo 7
Agora, usando novamente a Lei de Bragg para encontrar o ângulo
:
Rearranjando para
:
Substituindo os valores:
-
, -
, -
.
Então:
Agora, calculando o ângulo:
Resposta
(a) A distância interatômica
é aproximadamente
metros (0,0331 nm).
(b) O ângulo de difração para elétrons de 100 eV é aproximadamente .
(b) O ângulo de difração para elétrons de 100 eV é aproximadamente