(a) O ângulo de difração de elétrons de 50 eV em um cristal de MgO é 55,6 graus. Qual é a distância interatômica d ? (b) Qual é o ângulo de difração para elétrons de 100 eV ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas partes aqui:
(a) Precisamos encontrar a distância entre os átomos ( d) em um cristal de MgO, sabendo que elétrons com energia de 50 eV são difratados com um ângulo de 55,6 graus.
(b) Depois, queremos saber qual seria o ângulo de difração se a energia dos elétrons fosse de 100 eV.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de difração de elétrons e a relação entre a energia dos elétrons e seu comprimento de onda. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que partículas como elétrons têm propriedades de onda, e o comprimento de onda ( lambda) deles está relacionado à energia que possuem. A relação que liga a energia E ao comprimento de onda lambda é dada pela fórmula de de Broglie:
lambda = hraiz2me E
Onde:
  • h é a constante de Planck ( 6,626 times 10^-34 , Js),
  • me é a massa do elétron ( 9,109 times 10^-31 , kg),
  • E é a energia do elétron em joules.
Mas como nossa energia está em elétron-volts (eV), vamos converter para joules:
1 , eV = 1,602 times 10^-19 , J
Vamos calcular o comprimento de onda para a energia de 50 eV.

Passo 3

Convertendo 50 eV para joules:
E = 50 , eV times 1,602 times 10^-19 , JeV = 8,01 times 10^-18 , J
Agora, substituindo na fórmula de de Broglie:
lambda = 6,626 times 10^-34 , Jsraiz2 times 9,109 times 10^-31 , kg times 8,01 times 10^-18 , J
Vamos calcular o denominador primeiro:
raiz2 times 9,109 times 10^-31 times 8,01 times 10^-18 = raiz1,458 times 10^-47 approx 1,208 times 10^-23 , kg cdot m/s
Então:
lambda = 6,626 times 10^-341,208 times 10^-23 approx 5,48 times 10^-11 , m
Ou seja, lambda approx 0,0548 , nm.

Passo 4

Agora, para encontrar a distância interatômica d, vamos usar a Lei de Bragg, que relaciona o ângulo de difração, o comprimento de onda da partícula e a distância entre os planos cristalinos:
nlambda = 2d sin theta
Onde:
  • n é a ordem da difração (vamos considerar n=1 para a primeira ordem),
  • lambda é o comprimento de onda,
  • d é a distância interatômica que queremos encontrar,
  • theta é o ângulo de difração.
Rearranjando para encontrar d:
d = nlambda2 sin theta

Passo 5

Vamos substituir os valores conhecidos na equação. Para a parte (a):
  • lambda = 5,48 times 10^-11 , m,
  • theta = 55,6^circ,
  • n = 1.
Calculando:
d = 1 times 5,48 times 10^-112 times sin(55,6^circ)
Primeiro, calculamos sin(55,6^circ):
sin(55,6^circ) approx 0,828
Então:
d = 5,48 times 10^-112 times 0,828 approx 5,48 times 10^-111,656 approx 3,31 times 10^-11 , m
Ou seja, d approx 3,31 times 10^-11 , m, que é igual a 0,0331 , nm.

Passo 6

Agora, para a parte (b), queremos saber o ângulo de difração para elétrons com energia de 100 eV. Vamos seguir os mesmos passos:
Primeiro, calculamos o comprimento de onda para 100 eV.
Convertendo 100 eV para joules:
E = 100 , eV times 1,602 times 10^-19 , JeV = 1,602 times 10^-17 , J
Agora, usando a fórmula de de Broglie:
lambda = 6,626 times 10^-34raiz2 times 9,109 times 10^-31 times 1,602 times 10^-17
Calculando o denominador:
raiz2 times 9,109 times 10^-31 times 1,602 times 10^-17 = raiz2,915 times 10^-47 approx 1,708 times 10^-23 , kg cdot m/s
Então:
lambda = 6,626 times 10^-341,708 times 10^-23 approx 3,88 times 10^-11 , m
Ou seja, lambda approx 0,0388 , nm.

Passo 7

Agora, usando novamente a Lei de Bragg para encontrar o ângulo theta:
nlambda = 2d sin theta
Rearranjando para theta:
sin theta = nlambda2d
Substituindo os valores:
  • n = 1,
  • lambda = 3,88 times 10^-11 , m,
  • d = 3,31 times 10^-11 , m.
Então:
sin theta = 3,88 times 10^-112 times 3,31 times 10^-11 = 3,886,62 approx 0,586
Agora, calculando o ângulo:
theta = arcsin(0,586) approx 35,9^circ

Resposta

(a) A distância interatômica d é aproximadamente 3,31 times 10^-11 metros (0,0331 nm).
(b) O ângulo de difração para elétrons de 100 eV é aproximadamente 35,9^circ.

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