Mostre que para partícula relativística de energia de repouso
, o comprimento de onda de de Broglie em
é dada por
onde
. Sugestão: use a expressão para o momento relativístico:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula relativística com energia de repouso $ E_{0}
Å $) é dado pela fórmula:
Aqui, $ \beta = \frac{v}{c} $, onde $ v $ é a velocidade da partícula e $ c $ é a velocidade da luz. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de comprimento de onda de de Broglie e momento relativístico.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula do comprimento de onda de de Broglie, que relaciona o comprimento de onda ($ \lambda
p $):
Aqui, $ h $ é a constante de Planck. Nosso objetivo é expressar $ \lambda $ em termos da energia de repouso $ E_{0} $ e $ \beta $.
Passo 3
Sabemos que para partículas relativísticas, o momento ($ p $) é dado por:
Onde:
- $ m $ é a massa da partícula,
- $ \vec{u} $ é a velocidade da partícula,
- $ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^{2}}} $ é o fator de Lorentz.
Vamos reescrever essa expressão em termos de $ \beta $:
Como $ \beta = \frac{v}{c} $, podemos substituir $ u $ por $ v $ na expressão acima.
Passo 4
Agora, vamos relacionar a energia de repouso $ E_{0} $ com a massa $ m $ usando a famosa equação de Einstein:
Dessa forma, podemos substituir $ m $ por $ \frac{E_{0}}{c^{2}} $ na expressão do momento:
Como $ v = \beta c $, substituímos:
Passo 5
Agora, vamos substituir a expressão do momento $ p $ na fórmula do comprimento de onda de de Broglie:
Passo 6
Queremos expressar $ \lambda $ em angstroms ($ Å $). Sabemos que:
Além disso, vamos converter a energia $ E_{0} $ de MeV para Joules se necessário, mas para simplificar, usaremos uma constante que relaciona essas unidades na expressão final.
Passo 7
Finalmente, reunindo tudo, chegamos na expressão desejada para o comprimento de onda de de Broglie em angstroms:
Resposta
Portanto, mostramos que o comprimento de onda de de Broglie para uma partícula relativística é dado por: