Mostre que para partícula relativística de energia de repouso E0, o comprimento de onda de de Broglie em A é dada por
lambda=1,24 times 10^-2E0(MeV) (1-beta^2)^1 / 2beta
onde beta=v / c. Sugestão: use a expressão para o momento relativístico:
p=gamma m u=m uraiz1-u^2 / c^2

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula relativística com energia de repouso $ E_{0} E0 ãéí Å $) é dado pela fórmula:
Å
Aqui, $ \beta = \frac{v}{c} $, onde $ v $ é a velocidade da partícula e $ c $ é a velocidade da luz. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de comprimento de onda de de Broglie e momento relativístico.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do comprimento de onda de de Broglie, que relaciona o comprimento de onda ($ \lambda lambda í p $):
p
Aqui, $ h $ é a constante de Planck. Nosso objetivo é expressar $ \lambda $ em termos da energia de repouso $ E_{0} $ e $ \beta $.

Passo 3

Sabemos que para partículas relativísticas, o momento ($ p $) é dado por:
p
Onde:
  • $ m $ é a massa da partícula,
  • $ \vec{u} $ é a velocidade da partícula,
  • $ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^{2}}} $ é o fator de Lorentz.
Vamos reescrever essa expressão em termos de $ \beta $:
p = gamma m u = m uraiz1 - u^2c^2
Como $ \beta = \frac{v}{c} $, podemos substituir $ u $ por $ v $ na expressão acima.

Passo 4

Agora, vamos relacionar a energia de repouso $ E_{0} $ com a massa $ m $ usando a famosa equação de Einstein:
E0
Dessa forma, podemos substituir $ m $ por $ \frac{E_{0}}{c^{2}} $ na expressão do momento:
m
Como $ v = \beta c $, substituímos:
E0 = m c^2

Passo 5

Agora, vamos substituir a expressão do momento $ p $ na fórmula do comprimento de onda de de Broglie:
p

Passo 6

Queremos expressar $ \lambda $ em angstroms ($ Å $). Sabemos que:
lambda Å
Além disso, vamos converter a energia $ E_{0} $ de MeV para Joules se necessário, mas para simplificar, usaremos uma constante que relaciona essas unidades na expressão final.

Passo 7

Finalmente, reunindo tudo, chegamos na expressão desejada para o comprimento de onda de de Broglie em angstroms:
lambda = 1,24 times 10^-2E0(MeV) (1 - beta^2)^1/2beta

Resposta

Portanto, mostramos que o comprimento de onda de de Broglie para uma partícula relativística é dado por:
lambda = 1,24 times 10^-2E0(MeV) (1 - beta^2)^1/2beta

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