(a) Qual é o ângulo phi entre a=3,0 i-4,0 j e b=-2,0 i+3,0 j ? (b) Encontre a componente do vetor a ao longo do vetor b.

Passo 1

Vamos resolver um exercício que envolve vetores e trigonometria. Precisamos encontrar o ângulo entre dois vetores e a componente de um vetor ao longo do outro. Para isso, vamos usar conceitos de produto escalar e projeção de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar o ângulo phi entre dois vetores a e b, usamos a fórmula do produto escalar:
a cdot b = |a| , |b| cos(phi)
Aqui, a cdot b é o produto escalar dos vetores, e |a|, |b| são as magnitudes dos vetores.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar a cdot b. Os vetores são:
a = 3,0 i - 4,0 j
b = -2,0 i + 3,0 j
O produto escalar é:
a cdot b = (3,0)(-2,0) + (-4,0)(3,0) = -6,0 -12,0 = -18,0

Passo 4

Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores a e b. A magnitude de um vetor v = vx i + vy j é dada por:
|v| = raizvx^2 + vy^2
Para a:
|a| = raiz3,0^2 + (-4,0)^2 = raiz9 + 16 = raiz25 = 5,0
Para b:
|b| = raiz(-2,0)^2 + 3,0^2 = raiz4 + 9 = raiz13 approx 3,606

Passo 5

Agora que temos o produto escalar e as magnitudes, podemos encontrar o cosseno do ângulo phi:
cos(phi) = a cdot b|a| , |b| = -18,05,0 times 3,606 approx -18,018,03 approx -0,9998

Passo 6

Para encontrar o ângulo phi, usamos a função arco cosseno:
phi = arccos(-0,9998) approx 180^circ
Isso significa que os vetores estão quase na direção oposta.

Passo 7

Agora, vamos encontrar a componente do vetor a ao longo do vetor b. Essa componente é dada pela projeção de a em b:
Componente = a cdot b|b| = -18,03,606 approx -4,99

Resposta

(a) O ângulo phi entre os vetores a e b é aproximadamente 180^circ.
(b) A componente do vetor a ao longo do vetor b é aproximadamente -4,99.

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