(a) Qual é o ângulo
entre
e
? (b) Encontre a componente do vetor
ao longo do vetor
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício que envolve vetores e trigonometria. Precisamos encontrar o ângulo entre dois vetores e a componente de um vetor ao longo do outro. Para isso, vamos usar conceitos de produto escalar e projeção de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar o ângulo
entre dois vetores
e
, usamos a fórmula do produto escalar:
Aqui,
é o produto escalar dos vetores, e
,
são as magnitudes dos vetores.
Passo 3
Vamos calcular o produto escalar
. Os vetores são:
O produto escalar é:
Passo 4
Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores
e
. A magnitude de um vetor
é dada por:
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora que temos o produto escalar e as magnitudes, podemos encontrar o cosseno do ângulo
:
Passo 6
Para encontrar o ângulo
, usamos a função arco cosseno:
Isso significa que os vetores estão quase na direção oposta.
Passo 7
Agora, vamos encontrar a componente do vetor
ao longo do vetor
. Essa componente é dada pela projeção de
em
:
Resposta
(a) O ângulo
entre os vetores
e
é aproximadamente
.
(b) A componente do vetor
ao longo do vetor
é aproximadamente
.
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e
. Encontre (a)
, (b)
, ©
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e a componente de
ao longo de
.