(a) Qual é o ângulo entre e ? (b) Encontre a componente do vetor ao longo do vetor .

Passo 1

Vamos resolver um exercício que envolve vetores e trigonometria. Precisamos encontrar o ângulo entre dois vetores e a componente de um vetor ao longo do outro. Para isso, vamos usar conceitos de produto escalar e projeção de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar o ângulo entre dois vetores e , usamos a fórmula do produto escalar:
Aqui, é o produto escalar dos vetores, e , são as magnitudes dos vetores.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar . Os vetores são:
O produto escalar é:

Passo 4

Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores e . A magnitude de um vetor é dada por:
Para :
Para :

Passo 5

Agora que temos o produto escalar e as magnitudes, podemos encontrar o cosseno do ângulo :

Passo 6

Para encontrar o ângulo , usamos a função arco cosseno:
Isso significa que os vetores estão quase na direção oposta.

Passo 7

Agora, vamos encontrar a componente do vetor ao longo do vetor . Essa componente é dada pela projeção de em :

Resposta

(a) O ângulo entre os vetores e é aproximadamente .
(b) A componente do vetor ao longo do vetor é aproximadamente .

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