No produto F=q v times B, tome q=2, v=2,0 i+4,0 j+3,0 k e F=4,0 i-20 j+12 k. Qual é em termos de vetores unitários, o vetor B, sabendo-se que Bx=By ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que envolve a força magnética, que é dada por F = q v times B. A gente tem os valores de q, v e F, e precisa descobrir o vetor B. A matéria aqui é sobre produtos vetoriais e forças magnéticas. Vamos precisar lembrar como calcular o produto vetorial e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar os valores que a gente tem:
  • Carga elétrica: q = 2
  • Velocidade: v = 2,0,i + 4,0,j + 3,0,k
  • Força magnética: F = 4,0,i - 20,j + 12,k
  • E sabemos que Bx = By

Passo 3

A fórmula da força magnética é F = q v times B. Vamos calcular o produto vetorial v times B.
Seja B = Bx,i + By,j + Bz,k. Então:
v times B = i & j & k 2 & 4 & 3 Bx & By & Bz

Passo 4

Calculando o determinante:
v times B = i(4Bz - 3By) - j(2Bz - 3Bx) + k(2By - 4Bx)
Então, multiplicando pela carga q = 2:
F = 2 [ i(4Bz - 3By) - j(2Bz - 3Bx) + k(2By - 4Bx) ]

Passo 5

Agora, igualamos isso à força dada:
4,i - 20,j + 12,k = 2 [ i(4Bz - 3By) - j(2Bz - 3Bx) + k(2By - 4Bx) ]
Dividindo ambos os lados por 2:
2,i - 10,j + 6,k = i(4Bz - 3By) - j(2Bz - 3Bx) + k(2By - 4Bx)

Passo 6

Agora, igualamos cada componente:
  1. Na direção i:
2 = 4Bz - 3By
  1. Na direção j:
-10 = - (2Bz - 3Bx) Rightarrow 2Bz - 3Bx = 10
  1. Na direção k:
6 = 2By - 4Bx
E lembrando que Bx = By.

Passo 7

Vamos usar Bx = By. Vamos chamar Bx = By = b.
Agora, substituindo nas equações:
  1. 2 = 4Bz - 3b
  2. 2Bz - 3b = 10
  3. 6 = 2b - 4b Rightarrow 6 = -2b Rightarrow b = -3

Passo 8

Com b = -3, podemos achar Bz:
Da equação 2:
2Bz - 3(-3) = 10 2Bz + 9 = 10 2Bz = 1 Bz = 12

Resposta

Então, o vetor B é:
B = -3,i - 3,j + 12,k

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