Dois vetores são dados por a=(3,0) i+(5,0) j e b=(2,0) i+(4,0) j. Encontre (a) a cdot b, (b) (a+b) cdot b, © (a+b) cdot a, (d) a componente de a ao longo de b e a componente de b ao longo de a.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois vetores no plano, a e b, definidos por suas componentes nas direções dos vetores unitários i e j. O conteúdo envolve produto escalar de vetores e componentes de um vetor ao longo do outro. Para resolver, vamos precisar saber como calcular o produto escalar e como encontrar a componente de um vetor na direção de outro.

Passo 2

Vamos começar resolvendo a parte (a), que pede para encontrar o produto escalar a cdot b. O produto escalar entre dois vetores u = uxi + uyj e v = vxi + vyj é dado por:
u cdot v = ux vx + uy vy
Aplicando isso aos vetores a e b:
a cdot b = (3 times 2) + (5 times 4) = 6 + 20 = 26

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b), que requer o cálculo de (a + b) cdot b. Primeiro, somamos os vetores a e b:
a + b = (3 + 2)i + (5 + 4)j = 5i + 9j
Em seguida, calculamos o produto escalar desse resultado com b:
(5i + 9j) cdot (2i + 4j) = (5 times 2) + (9 times 4) = 10 + 36 = 46

Passo 4

Passando para a parte ©, precisamos calcular (a + b) cdot a. Já somamos a + b = 5i + 9j. Agora, fazemos o produto escalar com a:
(5i + 9j) cdot (3i + 5j) = (5 times 3) + (9 times 5) = 15 + 45 = 60

Passo 5

Por fim, na parte (d), queremos encontrar a componente de a ao longo de b e a componente de b ao longo de a. A fórmula para a componente de u ao longo de v é:
Componente de u ao longo de v = u cdot v|v|
Primeiro, calculamos as magnitudes dos vetores:
|a| = raiz3^2 + 5^2 = raiz9 + 25 = raiz34
|b| = raiz2^2 + 4^2 = raiz4 + 16 = raiz20 = 2raiz5
Agora, calculamos as componentes:
  • Componente de a ao longo de b:
a cdot b|b| = 262raiz5 = 13raiz5 = 13raiz55
  • Componente de b ao longo de a:
b cdot a|a| = 26raiz34 = 26raiz3434 = 13raiz3417

Resposta

(a) a cdot b = 26
(b) (a + b) cdot b = 46
© (a + b) cdot a = 60
(d) A componente de a ao longo de b é dfrac13raiz55 e a componente de b ao longo de a é dfrac13raiz3417

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