Dois vetores são dados por e . Encontre (a) , (b) , © , (d) a componente de ao longo de e a componente de ao longo de .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois vetores no plano, e , definidos por suas componentes nas direções dos vetores unitários e . O conteúdo envolve produto escalar de vetores e componentes de um vetor ao longo do outro. Para resolver, vamos precisar saber como calcular o produto escalar e como encontrar a componente de um vetor na direção de outro.

Passo 2

Vamos começar resolvendo a parte (a), que pede para encontrar o produto escalar . O produto escalar entre dois vetores e é dado por:
Aplicando isso aos vetores e :

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b), que requer o cálculo de . Primeiro, somamos os vetores e :
Em seguida, calculamos o produto escalar desse resultado com :

Passo 4

Passando para a parte ©, precisamos calcular . Já somamos . Agora, fazemos o produto escalar com :

Passo 5

Por fim, na parte (d), queremos encontrar a componente de ao longo de e a componente de ao longo de . A fórmula para a componente de ao longo de é:
Primeiro, calculamos as magnitudes dos vetores:
Agora, calculamos as componentes:
  • Componente de ao longo de :
  • Componente de ao longo de :

Resposta

(a)
(b)
©
(d) A componente de ao longo de é e a componente de ao longo de é

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