Uma antena real produz um campo elétrico irradiado conforme expressão abaixo:
E(theta, r):=25r cdot sin (theta)^2
Pede-se: E, H, S no ponto r=1 km, theta=30^circ e a U produzida pela antena na direção do ponto.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma antena que está emitindo um campo elétrico definido pela expressão $ \mathrm{E}(\theta, \mathrm{r}) = \frac{25}{\mathrm{r}} \cdot \sin^2(\theta) E(theta, r) = 25r cdot sin^2(theta) éé\mathrm{E} Eé\mathrm{H} H\mathrm{S}$) no ponto onde $ \mathrm{r} = 1 $ km e $ \theta = 30^\circ Séê\mathrm{U}$) produzida pela antena na direção desse ponto. Para isso, vamos usar conceitos de campos eletromagnéticos e radiação de antenas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o campo elétrico ( E) no ponto dado. A expressão já está fornecida:
E(theta, r) = 25r cdot sin^2(theta)
Substituindo $ \mathrm{r} = 1 $ km (que é 1000 metros) e $ \theta = 30^\circ $:
r = 1
Sabemos que $ \sin(30^\circ) = 0,5 $, então:
theta = 30^circ

Passo 3

Agora, vamos encontrar o campo magnético ( H). Em ondas eletromagnéticas no espaço livre, os campos E e H estão relacionados pela impedância do meio ($ \eta $), que para o vácuo é aproximadamente $ 377 \ \Omega $:
eta
Substituindo os valores:
377 Omega

Passo 4

Vamos calcular o vetor de Poynting ( S), que representa a densidade de fluxo de energia eletromagnética. A fórmula é:
S = E times H
Como os campos E e H são perpendiculares e estão em fase, o módulo de S é:
|S| = E cdot H = 0,00625 times 1,655 times 10^-5 approx 1,034 times 10^-7 W/m^2
Esse é o fluxo de energia por metro quadrado na direção dada.

Passo 5

Por último, vamos calcular a potência ( U) produzida pela antena na direção do ponto. A potência pode ser encontrada integrando o vetor de Poynting sobre uma superfície esférica ao redor da antena. A expressão para potência em uma direção específica é:
U = S cdot A
Onde $ \mathrm{A} $ é a área da superfície esférica a distância $ \mathrm{r} $. A área de uma esfera é:
A
Substituindo $ \mathrm{r} = 1000 $ m:
r
Então, a potência é:
A = 4pi r^2

Resposta

No ponto $ \mathrm{r} = 1 $ km e $ \theta = 30^\circ $:
r = 1
A potência produzida pela antena na direção desse ponto é aproximadamente $ 1,3 \ W $.

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