Calcular para quais ângulos a)
b)
c)
d)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício onde precisa calcular para quais ângulos determinadas expressões de campo elétrico $ E(\theta, \phi) $ são válidas. O conteúdo envolve trigonometria e funções seno em coordenadas esféricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções seno comportam-se em diferentes ângulos e como elas influenciam o campo elétrico nas expressões dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a função seno, $ \sin(\theta) $, varia entre -1 e 1 para qualquer ângulo $ \theta $. Quando elevamos o seno a uma potência, como $ \sin(\theta)^{12} $, estamos basicamente ajustando o quão “forte” ou “suave” é a variação do campo elétrico em relação a $ \theta $.
Passo 3
Vamos começar com a parte a):
Aqui, queremos saber para quais ângulos $ \theta $ e $ \phi $ essa expressão é válida. Como não há dependência de $ \phi $ na equação, apenas $ \theta $ influencia. Sabemos que $ \sin(\theta) $ varia entre 0 e 1 para $ \theta $ entre 0 e $ \pi $.
Passo 4
Para que $ E(\theta, \phi) $ seja real e não infinito, o denominador $ r $ não pode ser zero. Então, assumindo $ r \neq 0 $, a expressão é válida para qualquer $ \theta $ no intervalo de 0 a $ \pi $ radianos (0° a 180°).
Passo 5
Agora, vamos para a parte b):
Aqui, temos dependência tanto de $ \theta $ quanto de $ \phi $. Novamente, $ \sin(\theta) $ e $ \sin(\phi) $ variam entre 0 e 1. Então, para que $ E(\theta, \phi) $ seja válido, tanto $ \theta $ quanto $ \phi $ devem estar nos intervalos onde suas funções seno são definidas, ou seja, $ \theta $ entre 0 e $ \pi $ e $ \phi $ entre 0 e $ 2\pi $ radianos (0° a 360°).
Passo 6
Passando para a parte c):
Aqui, novamente, não há dependência de $ \phi $. A expressão é válida para $ \theta $ no intervalo de 0 a $ \pi $ radianos, já que $ \sin(\theta) $ é definida e real nesse intervalo.
Passo 7
Finalmente, a parte d):
Assim como na parte b), temos dependência de ambos os ângulos. Portanto, para que essa expressão seja válida, $ \theta $ deve estar entre 0 e $ \pi $ radianos, e $ \phi $ entre 0 e $ 2\pi $ radianos.
Resposta
a) Para $ 0 \leq \theta \leq \pi $ radianos.
b) Para $ 0 \leq \theta \leq \pi $ radianos e $ 0 \leq \phi \leq 2\pi $ radianos.
c) Para $ 0 \leq \theta \leq \pi $ radianos.
d) Para $ 0 \leq \theta \leq \pi $ radianos e $ 0 \leq \phi \leq 2\pi $ radianos.