Aquecimento e resfriamento de ambientes
Uma cerveja gelada inicialmente a 35^circ F aquece para 40^circ F em 3 minutos enquanto está em uma sala com temperatura de 70^circ F. Qual será a temperatura da cerveja se ela for deixada por 20 minutos?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre como a temperatura de uma cerveja muda com o tempo quando ela está em uma sala com temperatura diferente. Aqui, a cerveja começa a 35^circ F e aquece até 40^circ F em 3 minutos, numa sala que está a 70^circ F. A gente precisa descobrir qual será a temperatura da cerveja depois de 20 minutos. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Resfriamento de Newton, que nos ajuda a entender como a temperatura de um objeto muda ao longo do tempo quando está em contato com um ambiente de temperatura constante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Resfriamento de Newton, que diz que a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura ambiente. A fórmula matemática dessa lei é:
dTdt = k (Ta - T)
Onde:
  • T é a temperatura do objeto (nossa cerveja) no tempo t.
  • Ta é a temperatura ambiente (nosso caso, 70^circ F).
  • k é a constante de proporcionalidade que vamos descobrir.

Passo 3

Vamos resolver essa equação diferencial. Primeiro, rearranjamos para separar as variáveis:
dTTa - T = k , dt
Integrando os dois lados:
- ln|Ta - T| = kt + C
Onde C é a constante de integração. Podemos reescrever isso como:
T(t) = Ta - (Ta - T0)e^-kt
Aqui, T0 é a temperatura inicial da cerveja, que é 35^circ F.

Passo 4

Agora, usamos os dados que temos para encontrar a constante k. Sabemos que após 3 minutos ( t = 3), a temperatura é 40^circ F. Substituindo na fórmula:
40 = 70 - (70 - 35)e^-3k
Simplificando:
40 = 70 - 35 e^-3k
-30 = -35 e^-3k
3035 = e^-3k
ln(3035) = -3k
k = -13 ln(3035)
Calculando:
k approx -13 ln(67) approx 13 times 0.15415 approx 0.05138 , min^-1

Passo 5

Agora que temos k, podemos encontrar a temperatura após 20 minutos. Usamos novamente a fórmula:
T(20) = 70 - 35 e^-0.05138 times 20
Calculando o expoente:
-0.05138 times 20 approx -1.0276
Então:
T(20) = 70 - 35 e^-1.0276 approx 70 - 35 times 0.357 approx 70 - 12.495 approx 57.505^circ F

Resposta

A temperatura da cerveja após 20 minutos será aproximadamente 57,5^circ F.

Exercícios relacionados