Aquecimento e resfriamento de ambientes
Uma cerveja gelada inicialmente a
aquece para
em 3 minutos enquanto está em uma sala com temperatura de
. Qual será a temperatura da cerveja se ela for deixada por 20 minutos?
Uma cerveja gelada inicialmente a
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre como a temperatura de uma cerveja muda com o tempo quando ela está em uma sala com temperatura diferente. Aqui, a cerveja começa a
e aquece até
em 3 minutos, numa sala que está a
. A gente precisa descobrir qual será a temperatura da cerveja depois de 20 minutos. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Resfriamento de Newton, que nos ajuda a entender como a temperatura de um objeto muda ao longo do tempo quando está em contato com um ambiente de temperatura constante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei de Resfriamento de Newton, que diz que a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura ambiente. A fórmula matemática dessa lei é:
Onde:
-
é a temperatura do objeto (nossa cerveja) no tempo . -
é a temperatura ambiente (nosso caso, ). -
é a constante de proporcionalidade que vamos descobrir.
Passo 3
Vamos resolver essa equação diferencial. Primeiro, rearranjamos para separar as variáveis:
Integrando os dois lados:
Onde
é a constante de integração. Podemos reescrever isso como:
Aqui,
é a temperatura inicial da cerveja, que é
.
Passo 4
Agora, usamos os dados que temos para encontrar a constante
. Sabemos que após 3 minutos (
), a temperatura é
. Substituindo na fórmula:
Simplificando:
Calculando:
Passo 5
Agora que temos
, podemos encontrar a temperatura após 20 minutos. Usamos novamente a fórmula:
Calculando o expoente:
Então:
Resposta
A temperatura da cerveja após 20 minutos será aproximadamente
.