Suponha que se deseje estimar a proporção de indivíduos com uma certa moléstia em uma região. Selecionou-se uma amostra de 160 pessoas, constatando-se que 40 eram portadores. Um médico acredita que a proporção possa ser maior que 0,30 . Qual a decisão? Justifique a resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente quer descobrir qual é a proporção de pessoas com uma certa doença em uma região. Para isso, pegamos uma amostra de 160 pessoas e descobrimos que 40 delas têm a doença. Um médico acha que essa proporção pode ser maior que 30% (0,30). Vamos usar estatística, mais especificamente um teste de hipótese para proporções, para ver se concordamos ou não com o médico.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as hipóteses que queremos testar. A gente tem:
- Hipótese nula (H₀): A proporção de pessoas com a doença é igual a 30%, ou seja, $ H_0: p = 0,30 $.
- Hipótese alternativa (H₁): A proporção de pessoas com a doença é maior que 30%, ou seja, $ H_1: p > 0,30 $.
Passo 3
Agora, vamos calcular a proporção observada na nossa amostra. A fórmula para a proporção é:
Então, a proporção observada é 25%.
Passo 4
Vamos precisar calcular o erro padrão da proporção sob a hipótese nula. A fórmula é:
Onde $ p_0 = 0,30 $ e $ n = 160 $.
Passo 5
Com o erro padrão, vamos calcular o valor do teste Z, que nos diz quantos desvios-padrão a nossa proporção observada está da proporção hipotética. A fórmula é:
Passo 6
Agora, precisamos decidir o nível de significância ($ \alpha $). Como não foi especificado, vamos assumir $ \alpha = 0,05 $ (5%). Como a hipótese alternativa é unilateral (queremos saber se é maior), vamos olhar o valor crítico correspondente a 95% na tabela Z, que é aproximadamente 1,645.
Passo 7
Comparamos o valor calculado de Z com o valor crítico:
- Se $ Z > 1,645 $, rejeitamos a hipótese nula.
- Se $ Z \leq 1,645 $, não rejeitamos a hipótese nula.
No nosso caso, $ Z \approx -1,38 $, que é menor que 1,645.
Passo 8
Além disso, como o valor de Z é negativo, isso indica que a proporção observada está abaixo da proporção hipotética, o que já sugere que não há evidências para apoiar a hipótese alternativa.
Resposta
Como o valor de Z calculado (-1,38) é menor que o valor crítico de 1,645, não rejeitamos a hipótese nula. Portanto, não há evidências suficientes para afirmar que a proporção de indivíduos com a doença na região é maior que 30%.