Suponha que se deseje estimar a proporção de indivíduos com uma certa moléstia em uma região. Selecionou-se uma amostra de 160 pessoas, constatando-se que 40 eram portadores. Um médico acredita que a proporção possa ser maior que 0,30 . Qual a decisão? Justifique a resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente quer descobrir qual é a proporção de pessoas com uma certa doença em uma região. Para isso, pegamos uma amostra de 160 pessoas e descobrimos que 40 delas têm a doença. Um médico acha que essa proporção pode ser maior que 30% (0,30). Vamos usar estatística, mais especificamente um teste de hipótese para proporções, para ver se concordamos ou não com o médico.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses que queremos testar. A gente tem:
  • Hipótese nula (H₀): A proporção de pessoas com a doença é igual a 30%, ou seja, $ H_0: p = 0,30 $.
  • Hipótese alternativa (H₁): A proporção de pessoas com a doença é maior que 30%, ou seja, $ H_1: p > 0,30 $.

Passo 3

Agora, vamos calcular a proporção observada na nossa amostra. A fórmula para a proporção é:
p = número de casos favoráveistamanho da amostra = 40160 = 0,25 úá
Então, a proporção observada é 25%.

Passo 4

Vamos precisar calcular o erro padrão da proporção sob a hipótese nula. A fórmula é:
SE = raizp0 (1 - p0)n = raiz0,30 times 0,70160 approx raiz0,21160 approx raiz0,0013125 approx 0,0362
Onde $ p_0 = 0,30 $ e $ n = 160 $.

Passo 5

Com o erro padrão, vamos calcular o valor do teste Z, que nos diz quantos desvios-padrão a nossa proporção observada está da proporção hipotética. A fórmula é:
Z = p - p0SE = 0,25 - 0,300,0362 approx -0,050,0362 approx -1,38

Passo 6

Agora, precisamos decidir o nível de significância ($ \alpha $). Como não foi especificado, vamos assumir $ \alpha = 0,05 $ (5%). Como a hipótese alternativa é unilateral (queremos saber se é maior), vamos olhar o valor crítico correspondente a 95% na tabela Z, que é aproximadamente 1,645.

Passo 7

Comparamos o valor calculado de Z com o valor crítico:
  • Se $ Z > 1,645 $, rejeitamos a hipótese nula.
  • Se $ Z \leq 1,645 $, não rejeitamos a hipótese nula.
No nosso caso, $ Z \approx -1,38 $, que é menor que 1,645.

Passo 8

Além disso, como o valor de Z é negativo, isso indica que a proporção observada está abaixo da proporção hipotética, o que já sugere que não há evidências para apoiar a hipótese alternativa.

Resposta

Como o valor de Z calculado (-1,38) é menor que o valor crítico de 1,645, não rejeitamos a hipótese nula. Portanto, não há evidências suficientes para afirmar que a proporção de indivíduos com a doença na região é maior que 30%.

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