Foram instaladas lâmpadas de uma certa marca. O tempo de duração segue distribuição exponencial de média 1500 h . Qual a probabilidade de uma lâmpada durar mais que 1200 h ?

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um problema sobre lâmpadas que duram certo tempo. A duração delas segue uma distribuição exponencial com uma média de 1500 horas. A pergunta é: qual a probabilidade de uma lâmpada durar mais que 1200 horas? Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a distribuição exponencial e como calcular probabilidades usando ela.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a distribuição exponencial. Essa distribuição é usada para modelar o tempo entre eventos que acontecem de forma contínua e independente. No nosso caso, o “evento” é a lâmpada queimar. A média da distribuição é representada por $ \mu $, que aqui é 1500 horas. A gente também precisa encontrar o parâmetro $ \lambda $, que é o inverso da média: $ \lambda = \frac{1}{\mu} $.

Passo 3

Calculando $ \lambda $, temos:
lambda
Agora, para encontrar a probabilidade de uma lâmpada durar mais que 1200 horas, usamos a fórmula da função de sobrevivência da distribuição exponencial:
lambda = 11500 approx 0,0006667 , h^-1
Onde $ x $ é o tempo que estamos interessados, que nesse caso é 1200 horas.

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula:
P(X > 1200) = e^-0,0006667 times 1200
Calculando o expoente:
-0,0006667 times 1200 = -0,8
Então:
P(X > 1200) = e^-0,8 approx 0,449
Isso significa que a probabilidade é de aproximadamente 44,9%.

Resposta

A probabilidade de uma lâmpada durar mais que 1200 horas é de aproximadamente 44,9%.

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