Antes de uma eleição, um determinado partido está interessado em estimar a proporção
de eleitores favoráveis ao seu candidato. Uma amostra piloto de tamanho 100 (considere essa amostra suficientemente grande) revelou que
dos eleitores eram favoráveis ao candidato. Se na amostra final, com tamanho obtido em (a), observou-se que
dos eleitores eram favoráveis ao candidato, construa um intervalo de confiança para
, com confiança de
.
Passo 1
Então, galera, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa estimar a proporção
de eleitores que estão a favor do candidato de um partido antes da eleição. Para isso, vamos construir um intervalo de confiança de 95%. A gente tem uma amostra piloto com 100 eleitores, onde 60% estavam a favor, e na amostra final com tamanho que foi determinado anteriormente, 51% estavam a favor. Vamos precisar usar conceitos de estatística, especificamente sobre intervalos de confiança para proporções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um intervalo de confiança. Basicamente, ele nos dá um intervalo no qual temos certeza, com um certo nível de confiança (neste caso, 95%), que a verdadeira proporção
está. Para calcular isso, usamos a fórmula:
Onde:
-
é a proporção observada na amostra. -
é o valor crítico que corresponde ao nível de confiança desejado. -
é o tamanho da amostra.
Passo 3
Vamos identificar os valores que temos:
- Na amostra final,
(51%). - O nível de confiança é 95%, então precisamos encontrar o valor de
que corresponde a esse nível. Para 95%, é aproximadamente 1,96. - O tamanho da amostra
não foi especificado diretamente no enunciado, mas como estamos usando a amostra final, vamos supor que o tamanho é grande o suficiente. Se considerarmos a amostra piloto de 100 como base, podemos usar .
Passo 4
Agora, vamos calcular o erro padrão, que é a parte dentro da raiz na fórmula:
Passo 5
Com o erro padrão calculado, multiplicamos pelo valor crítico
:
Passo 6
Finalmente, construímos o intervalo de confiança adicionando e subtraindo esse valor da proporção observada:
Isso nos dá:
Resposta
O intervalo de confiança de 95% para a proporção
de eleitores favoráveis ao candidato é aproximadamente de 41,2% a 60,8%.