Antes de uma eleição, um determinado partido está interessado em estimar a proporção p de eleitores favoráveis ao seu candidato. Uma amostra piloto de tamanho 100 (considere essa amostra suficientemente grande) revelou que 60 % dos eleitores eram favoráveis ao candidato. Se na amostra final, com tamanho obtido em (a), observou-se que 51 % dos eleitores eram favoráveis ao candidato, construa um intervalo de confiança para p, com confiança de 95 %.

Passo 1

Então, galera, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa estimar a proporção de eleitores que estão a favor do candidato de um partido antes da eleição. Para isso, vamos construir um intervalo de confiança de 95%. A gente tem uma amostra piloto com 100 eleitores, onde 60% estavam a favor, e na amostra final com tamanho que foi determinado anteriormente, 51% estavam a favor. Vamos precisar usar conceitos de estatística, especificamente sobre intervalos de confiança para proporções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um intervalo de confiança. Basicamente, ele nos dá um intervalo no qual temos certeza, com um certo nível de confiança (neste caso, 95%), que a verdadeira proporção IC = p pm z times raizp(1 - p)n está. Para calcular isso, usamos a fórmula:
Onde:
  • é a proporção observada na amostra.
  • é o valor crítico que corresponde ao nível de confiança desejado.
  • é o tamanho da amostra.

Passo 3

Vamos identificar os valores que temos:
  • Na amostra final, (51%).
  • O nível de confiança é 95%, então precisamos encontrar o valor de que corresponde a esse nível. Para 95%, é aproximadamente 1,96.
  • O tamanho da amostra não foi especificado diretamente no enunciado, mas como estamos usando a amostra final, vamos supor que o tamanho é grande o suficiente. Se considerarmos a amostra piloto de 100 como base, podemos usar .

Passo 4

Agora, vamos calcular o erro padrão, que é a parte dentro da raiz na fórmula:
Erro Padrão = raizp(1 - p)n = raiz0,51 times (1 - 0,51)100 = raiz0,51 times 0,49100 = raiz0,2499100 = raiz0,002499 approx 0,05 ã

Passo 5

Com o erro padrão calculado, multiplicamos pelo valor crítico z times Erro Padrão = 1,96 times 0,05 approx 0,098 :
ã

Passo 6

Finalmente, construímos o intervalo de confiança adicionando e subtraindo esse valor da proporção observada:
IC = 0,51 pm 0,098
Isso nos dá:
0,51 - 0,098 = 0,412 e 0,51 + 0,098 = 0,608

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para a proporção de eleitores favoráveis ao candidato é aproximadamente de 41,2% a 60,8%.

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