Antes de uma eleição, um determinado partido está interessado em estimar a proporção p de eleitores favoráveis ao seu candidato. Uma amostra piloto de tamanho 100 revelou que 60 % dos eleitores eram favoráveis ao candidato em questão.
a) Determine o tamanho da amostra necessário para que o erro cometido na estimação seja de, no máximo, 0,02 com probabilidade de 95 %.
b) Se na amostra final, com tamanho igual ao obtido em (a), observou-se que 55 % dos eleitores eram favoráveis ao candidato em questão, construa um IC para a proporção p com 90 % de confiança.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício está pedindo e identificar o que precisamos para resolver cada parte.
Enunciado Resumido:
Um partido quer estimar a proporção de eleitores que apoiam seu candidato. Uma amostra piloto de 100 pessoas mostrou que 60% estavam a favor.
Conteúdo da Matéria:
Vamos trabalhar com estimação de proporção e intervalo de confiança. Precisaremos usar a fórmula do erro máximo na estimação da proporção e entender como calcular o tamanho da amostra necessário para alcançar um determinado nível de confiança e margem de erro.

Passo 2

Vamos resolver a parte a) do exercício:
Objetivo: Determinar o tamanho da amostra necessário para que o erro na estimação da proporção seja no máximo 0,02 com 95% de confiança.
Dados:
  • Margem de erro ( ) = 0,02
  • Nível de confiança = 95%
  • Proporção estimada ( ) = 0,60

Passo 3

Passo 1 da Resolução: Encontrar o valor crítico para 95% de confiança.
Para um nível de confiança de 95%, precisamos encontrar o valor de que corresponde a essa confiança. Esse valor é encontrado na tabela da distribuição normal padrão.
  • para 95% de confiança.

Passo 4

Passo 2 da Resolução: Utilizar a fórmula do tamanho da amostra para proporção.
A fórmula para calcular o tamanho da amostra n = ( z^2 cdot p cdot (1 - p)E^2 ) é:
Onde:
  • é o valor crítico,
  • é a proporção estimada,
  • é a margem de erro.

Passo 5

Passo 3 da Resolução: Substituir os valores na fórmula.
Vamos substituir os valores que temos na fórmula:
n = ( (1,96)^2 cdot 0,60 cdot (1 - 0,60)(0,02)^2 )

Passo 6

Passo 4 da Resolução: Realizar os cálculos.
Primeiro, calculamos o numerador:
(1,96)^2 cdot 0,60 cdot 0,40 = 3,8416 cdot 0,24 = 0,921984
Depois, o denominador:
(0,02)^2 = 0,0004
Agora, dividimos os dois resultados:
n = 0,9219840,0004 = 2304,96

Passo 7

Passo 5 da Resolução: Arredondar o tamanho da amostra.
Como o tamanho da amostra não pode ser fracionário, arredondamos para cima:
n = 2305

Passo 8

Agora, vamos resolver a parte b) do exercício:
Objetivo: Construir um intervalo de confiança de 90% para a proporção , dado que na amostra final de 2.305 eleitores, 55% estavam a favor.
Dados:
  • Proporção observada ( ) = 0,55
  • Tamanho da amostra ( ) = 2305
  • Nível de confiança = 90%

Passo 9

Passo 1 da Resolução: Encontrar o valor crítico para 90% de confiança.
Para um nível de confiança de 90%, o valor de correspondente é:

Passo 10

Passo 2 da Resolução: Calcular o erro padrão (EP) da proporção.
A fórmula para o erro padrão é:
EP = raiz p cdot (1 - p) n
Substituindo os valores:
EP = raiz 0,55 cdot 0,45 2305 approx raiz 0,2475 2305 approx raiz0,0001073 approx 0,01036

Passo 11

Passo 3 da Resolução: Calcular a margem de erro (ME).
A margem de erro é dada por:
ME = z cdot EP = 1,645 cdot 0,01036 approx 0,01699

Passo 12

Passo 4 da Resolução: Construir o intervalo de confiança.
O intervalo de confiança é:
p pm ME = 0,55 pm 0,01699
Portanto:
0,55 - 0,01699 = 0,5330 0,55 + 0,01699 = 0,56699

Passo 13

Passo 5 da Resolução: Expressar o intervalo em porcentagem.
Convertendo os valores para porcentagem:
53,30% <= p <= 56,70%

Resposta

b) O intervalo de confiança de 90% para a proporção é de 53,30% a 56,70%.

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