Antes de uma eleição, um determinado partido está interessado em estimar a proporção p de eleitores favoráveis ao seu candidato. Uma amostra piloto de tamanho 100 revelou que
dos eleitores eram favoráveis ao candidato em questão.
a) Determine o tamanho da amostra necessário para que o erro cometido na estimação seja de, no máximo, 0,02 com probabilidade de
.
b) Se na amostra final, com tamanho igual ao obtido em (a), observou-se que
dos eleitores eram favoráveis ao candidato em questão, construa um IC para a proporção p com
de confiança.
a) Determine o tamanho da amostra necessário para que o erro cometido na estimação seja de, no máximo, 0,02 com probabilidade de
b) Se na amostra final, com tamanho igual ao obtido em (a), observou-se que
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o exercício está pedindo e identificar o que precisamos para resolver cada parte.
Enunciado Resumido:
Um partido quer estimar a proporção
de eleitores que apoiam seu candidato. Uma amostra piloto de 100 pessoas mostrou que 60% estavam a favor.
Conteúdo da Matéria:
Vamos trabalhar com estimação de proporção e intervalo de confiança. Precisaremos usar a fórmula do erro máximo na estimação da proporção e entender como calcular o tamanho da amostra necessário para alcançar um determinado nível de confiança e margem de erro.
Passo 2
Vamos resolver a parte a) do exercício:
Objetivo: Determinar o tamanho da amostra necessário para que o erro na estimação da proporção
seja no máximo 0,02 com 95% de confiança.
Dados:
- Margem de erro (
) = 0,02 - Nível de confiança = 95%
- Proporção estimada (
) = 0,60
Passo 3
Passo 1 da Resolução: Encontrar o valor crítico
para 95% de confiança.
Para um nível de confiança de 95%, precisamos encontrar o valor de
que corresponde a essa confiança. Esse valor é encontrado na tabela da distribuição normal padrão.
-
para 95% de confiança.
Passo 4
Passo 2 da Resolução: Utilizar a fórmula do tamanho da amostra para proporção.
A fórmula para calcular o tamanho da amostra
é:
Onde:
-
é o valor crítico, -
é a proporção estimada, -
é a margem de erro.
Passo 5
Passo 3 da Resolução: Substituir os valores na fórmula.
Vamos substituir os valores que temos na fórmula:
Passo 6
Passo 4 da Resolução: Realizar os cálculos.
Primeiro, calculamos o numerador:
Depois, o denominador:
Agora, dividimos os dois resultados:
Passo 7
Passo 5 da Resolução: Arredondar o tamanho da amostra.
Como o tamanho da amostra não pode ser fracionário, arredondamos para cima:
Passo 8
Agora, vamos resolver a parte b) do exercício:
Objetivo: Construir um intervalo de confiança de 90% para a proporção
, dado que na amostra final de 2.305 eleitores, 55% estavam a favor.
Dados:
- Proporção observada (
) = 0,55 - Tamanho da amostra (
) = 2305 - Nível de confiança = 90%
Passo 9
Passo 1 da Resolução: Encontrar o valor crítico
para 90% de confiança.
Para um nível de confiança de 90%, o valor de
correspondente é:
Passo 10
Passo 2 da Resolução: Calcular o erro padrão (EP) da proporção.
A fórmula para o erro padrão é:
Substituindo os valores:
Passo 11
Passo 3 da Resolução: Calcular a margem de erro (ME).
A margem de erro é dada por:
Passo 12
Passo 4 da Resolução: Construir o intervalo de confiança.
O intervalo de confiança é:
Portanto:
Passo 13
Passo 5 da Resolução: Expressar o intervalo em porcentagem.
Convertendo os valores para porcentagem:
Resposta
b) O intervalo de confiança de 90% para a proporção
é de 53,30% a 56,70%.