Às vésperas de um pleito eleitoral majoritária, uma pesquisa de opinião pública revelou que, de 500 eleitores escolhidos aleatoriamente, 286 indicavam como preferência o candidato A. É possível assegurar, usando um nível de
de significância, que esse candidato vencerá o pleito em questão?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma eleição importante chegando e uma pesquisa de opinião foi feita. Selecionaram 500 eleitores aleatoriamente, e 286 deles disseram que preferem o candidato A. A questão é: será que conseguimos afirmar, com 1% de confiança, que o candidato A vai ganhar essa eleição? Para resolver isso, vamos usar estatística, mais especificamente o teste de hipótese para proporções.
Passo 2
Primeiro, precisamos definir nossas hipóteses. A hipótese nula (
) é que o candidato A não tem vantagem, ou seja, que ele recebe 50% dos votos (
). A hipótese alternativa (
) é que ele tem mais de 50% dos votos (
). Queremos ver se os dados da pesquisa nos dão suporte para rejeitar a hipótese nula em favor da hipótese alternativa.
Passo 3
Vamos verificar se podemos usar o teste de proporção aqui. Precisamos ter uma amostra aleatória, o que já está garantido. Além disso, precisamos que
e
sejam maiores ou iguais a 10 para usar a distribuição normal como aproximação. Calculando:
Ambos são maiores que 10, então estamos prontos para seguir.
Passo 4
Agora, vamos calcular a proporção observada na amostra (
):
Em seguida, calculamos o erro padrão (
) usando a fórmula:
Passo 5
Com a
e o
, podemos calcular o valor do teste estatístico (
):
Passo 6
Agora, vamos encontrar o valor crítico para um teste unilateral com nível de significância de 1% (0,01). Consultando a tabela z, o valor crítico é aproximadamente 2,33. Isso significa que se nosso
calculado for maior que 2,33, rejeitamos a hipótese nula.
Passo 7
Comparando nosso
de aproximadamente 3,223 com o valor crítico de 2,33, vemos que 3,223 > 2,33. Portanto, rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Com um nível de 1% de significância, podemos afirmar com confiança que o candidato A tem mais de 50% de preferência e, portanto, é provável que ele vença a eleição.