Às vésperas de um pleito eleitoral majoritária, uma pesquisa de opinião pública revelou que, de 500 eleitores escolhidos aleatoriamente, 286 indicavam como preferência o candidato A. É possível assegurar, usando um nível de 1 % de significância, que esse candidato vencerá o pleito em questão?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma eleição importante chegando e uma pesquisa de opinião foi feita. Selecionaram 500 eleitores aleatoriamente, e 286 deles disseram que preferem o candidato A. A questão é: será que conseguimos afirmar, com 1% de confiança, que o candidato A vai ganhar essa eleição? Para resolver isso, vamos usar estatística, mais especificamente o teste de hipótese para proporções.

Passo 2

Primeiro, precisamos definir nossas hipóteses. A hipótese nula ( H0) é que o candidato A não tem vantagem, ou seja, que ele recebe 50% dos votos ( p = 0,5). A hipótese alternativa ( Ha) é que ele tem mais de 50% dos votos ( p > 0,5). Queremos ver se os dados da pesquisa nos dão suporte para rejeitar a hipótese nula em favor da hipótese alternativa.

Passo 3

Vamos verificar se podemos usar o teste de proporção aqui. Precisamos ter uma amostra aleatória, o que já está garantido. Além disso, precisamos que np e n(1-p) sejam maiores ou iguais a 10 para usar a distribuição normal como aproximação. Calculando:
n times p = 500 times 0,5 = 250 n times (1 - p) = 500 times 0,5 = 250
Ambos são maiores que 10, então estamos prontos para seguir.

Passo 4

Agora, vamos calcular a proporção observada na amostra ( p):
p = 286500 = 0,572
Em seguida, calculamos o erro padrão ( EP) usando a fórmula:
EP = raizp times (1 - p)n = raiz0,5 times 0,5500 = raiz0,25500 = raiz0,0005 approx 0,02236

Passo 5

Com a p e o EP, podemos calcular o valor do teste estatístico ( z):
z = p - pEP = 0,572 - 0,50,02236 approx 0,0720,02236 approx 3,223

Passo 6

Agora, vamos encontrar o valor crítico para um teste unilateral com nível de significância de 1% (0,01). Consultando a tabela z, o valor crítico é aproximadamente 2,33. Isso significa que se nosso z calculado for maior que 2,33, rejeitamos a hipótese nula.

Passo 7

Comparando nosso z de aproximadamente 3,223 com o valor crítico de 2,33, vemos que 3,223 > 2,33. Portanto, rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com um nível de 1% de significância, podemos afirmar com confiança que o candidato A tem mais de 50% de preferência e, portanto, é provável que ele vença a eleição.

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