Antes de resolver o problema, responda o que ocorre com a distância d se dobrarmos a carga da partícula: ela diminui, permanece a mesma ou aumenta? E o que ocorre com a distância d se em vez de alterarmos a carga da partícula, dobrarmos a sua distância ao plano condutor? Justifique a sua resposta.

Passo 1

Vamos analisar o problema: queremos entender o que acontece com a distância quando dobramos a carga de uma partícula ou quando dobramos a sua distância em relação a um plano condutor. Estamos trabalhando com conceitos de eletrostática, especificamente a interação entre cargas elétricas e a influência de um plano condutor. Para resolver isso, vamos precisar utilizar a Lei de Coulomb e o conceito de imagens elétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Coulomb, que descreve a força entre duas cargas elétricas. A fórmula é:
F = ke q1 q2d^2
onde:
  • é a força entre as cargas,
  • é a constante eletrostática ( ),
  • e são as magnitudes das cargas,
  • é a distância entre as cargas.
No caso de uma carga próxima a um plano condutor, usamos o método das imagens, que substitui o plano condutor por uma carga imaginária ( ) de mesma magnitude e sinal oposto, situada a uma distância do plano.

Passo 3

Primeira Parte: Se dobrarmos a carga da partícula ( F' = ke (2q)(-q)d^2 = -2ke q^2d^2 ), a força elétrica entre a carga real e a carga de imagem se torna:
F' propto q'^2d'^2
A força dobra em magnitude. Para que o sistema permaneça em equilíbrio (onde a força elétrica balanceia outras forças, como a gravidade), a distância 2F propto (2q)^2d'^2 Rightarrow 2F propto 4q^2d'^2 deve ajustar-se. Usando a relação da força:
2 propto 4d'^2 Rightarrow d'^2 = 2d^2 Rightarrow d' = d raiz2
Como a força dobrou ( ), para manter a relação, precisamos que:
Simplificando:
Portanto, a distância aumentaria em um fator de .

Passo 4

Segunda Parte: Agora, se dobrarmos a distância da partícula ao plano condutor ( F'' = ke q cdot (-q)(2d)^2 = -14ke q^2d^2 ), a força elétrica se torna:
F = ke q'^2(2d)^2 = 14ke q'^2d^2
A força diminui para um quarto do valor original. Para manter o equilíbrio, precisamos ajustar a carga para que a nova força seja igual à força original:
14ke q'^2d^2 = ke q^2d^2 Rightarrow q'^2 = 4q^2 Rightarrow q' = 2q
Igualando à força original:
Portanto, a carga precisaria ser dobrada para manter o equilíbrio quando a distância é dobrada.

Resposta

  • Ao dobrar a carga da partícula, a distância aumenta, especificamente multiplica-se por , para manter o equilíbrio das forças.
  • Ao dobrar a distância da partícula ao plano condutor, a distância permanece a mesma, mas para manter o equilíbrio, a carga precisaria ser dobrada.

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