Uma pedra 6 atirada para cima com velocidade fazendo um ângulo theta com a horizontal. Qual deve ser o valor de theta para que, ao atingir sua altura máxima, a pedra tenha perdido metade de sua energia cinética inicial?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre física de projéteis. Temos uma pedra sendo lançada para cima com uma velocidade que forma um ângulo theta com a horizontal. A pergunta é: qual o valor desse ângulo theta para que, quando a pedra atingir a altura máxima, ela tenha perdido metade da sua energia cinética inicial? Para resolver isso, vamos precisar entender como decompor a velocidade em componentes horizontal e vertical, além de aplicar conceitos de energia cinética.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial da pedra nos eixos horizontal e vertical. Se a velocidade inicial é v0 = 6, m/s e o ângulo é theta, então:
  • Componente horizontal: v0x = v0 costheta
  • Componente vertical: v0y = v0 sintheta

Passo 3

Na altura máxima, a velocidade vertical da pedra é zero porque ela para de subir antes de começar a descer. Isso significa que, nesse ponto, só resta a velocidade horizontal. A energia cinética total na altura máxima será, portanto, apenas a energia cinética associada à componente horizontal da velocidade.

Passo 4

A energia cinética inicial da pedra é dada por:
KEinicial = 12 m v0^2
Na altura máxima, a energia cinética é:
KEmáxima = 12 m v0x^2 = 12 m (v0 costheta)^2 = 12 m v0^2 cos^2theta á

Passo 5

Segundo a questão, a energia cinética na altura máxima deve ser metade da energia cinética inicial:
KEmáxima = 12 KEinicial á
Substituindo as expressões:
12 m v0^2 cos^2theta = 12 ( 12 m v0^2 )

Passo 6

Simplificando a equação acima:
cos^2theta = 12
Para encontrar theta, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
costheta = raiz22

Passo 7

Agora, descobrimos qual ângulo tem o cosseno igual a raiz22. Sabemos que:
cos 45^circ = raiz22

Resposta

O ângulo theta deve ser 45^circ para que, ao atingir sua altura máxima, a pedra tenha perdido metade de sua energia cinética inicial.

Exercícios relacionados