Verifique que a solução desse problema é dada pelo potencial da carga
somado ao de uma carga imagem
localizada na posição
. Ou seja, mostre que a solução da equação de Poisson fora da esfera que satisfaz às condições de contorno (potencial nulo na superfície condutora e no infinito) é dada por
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa verificar que a solução para o problema proposto é a soma do potencial de uma carga
e o potencial de uma carga imagem
localizada na posição
. Em outras palavras, queremos mostrar que a solução da equação de Poisson fora da esfera, que satisfaz as condições de contorno (potencial nulo na superfície condutora e no infinito), é dada por
.
O conteúdo envolvido aqui é a eletrostática, mais especificamente o método da imagem para resolver problemas de potenciais elétricos em presença de condutores. Vamos precisar usar a equação de Poisson e entender como aplicar as condições de contorno para encontrar a solução adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a equação de Poisson. Ela é dada por:
onde
é o potencial elétrico,
é a densidade de carga e
é a permissividade do vácuo.
No nosso caso, estamos lidando com uma carga pontual
fora de uma esfera condutora de raio
. Queremos encontrar o potencial elétrico
que satisfaz a equação de Poisson fora da esfera e atende às condições de contorno especificadas.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o método da imagem. Esse método é uma ferramenta poderosa para resolver problemas de potenciais elétricos envolvendo condutores. A ideia é substituir o condutor por cargas fictícias (chamadas de cargas imagem) que reproduzem as condições de contorno impostas pelo condutor.
No caso de uma carga
próxima a uma esfera condutora, a carga imagem
é posicionada de tal forma que o potencial na superfície da esfera seja zero, conforme a condição de contorno. A posição e o valor de
são escolhidos para garantir que as condições de contorno sejam satisfeitas.
Passo 4
Vamos aplicar isso ao nosso problema. Temos uma carga
localizada a uma distância
do centro da esfera. Queremos encontrar a carga imagem
e sua posição
de forma que o potencial na superfície da esfera
e que o potencial no infinito também seja zero.
Segundo o método da imagem para uma esfera, a carga imagem
é dada por:
E a posição da carga imagem
é:
Essas expressões garantem que o potencial na superfície da esfera seja cancelado pela contribuição da carga imagem.
Passo 5
Agora, vamos escrever o potencial total
como a soma dos potenciais individuais da carga
e da carga imagem
:
Onde:
Aqui,
e
são as posições das cargas
e
, respectivamente.
Passo 6
Vamos verificar se esse potencial atende às condições de contorno. Primeiro, na superfície da esfera
:
Isso acontece porque as contribuições das cargas
e
se cancelam na superfície da esfera, garantindo que o potencial seja zero ali.
Segundo, no infinito
:
Ambas as contribuições dos potenciais das cargas tendem a zero no infinito, satisfazendo essa condição de contorno.
Resposta
Assim, mostramos que a solução da equação de Poisson fora da esfera, que satisfaz as condições de contorno de potencial nulo na superfície condutora e no infinito, é dada por: