Verifique que a solução desse problema é dada pelo potencial da carga somado ao de uma carga imagem localizada na posição . Ou seja, mostre que a solução da equação de Poisson fora da esfera que satisfaz às condições de contorno (potencial nulo na superfície condutora e no infinito) é dada por .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa verificar que a solução para o problema proposto é a soma do potencial de uma carga e o potencial de uma carga imagem localizada na posição . Em outras palavras, queremos mostrar que a solução da equação de Poisson fora da esfera, que satisfaz as condições de contorno (potencial nulo na superfície condutora e no infinito), é dada por .
O conteúdo envolvido aqui é a eletrostática, mais especificamente o método da imagem para resolver problemas de potenciais elétricos em presença de condutores. Vamos precisar usar a equação de Poisson e entender como aplicar as condições de contorno para encontrar a solução adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a equação de Poisson. Ela é dada por:
onde é o potencial elétrico, é a densidade de carga e é a permissividade do vácuo.
No nosso caso, estamos lidando com uma carga pontual fora de uma esfera condutora de raio . Queremos encontrar o potencial elétrico que satisfaz a equação de Poisson fora da esfera e atende às condições de contorno especificadas.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o método da imagem. Esse método é uma ferramenta poderosa para resolver problemas de potenciais elétricos envolvendo condutores. A ideia é substituir o condutor por cargas fictícias (chamadas de cargas imagem) que reproduzem as condições de contorno impostas pelo condutor.
No caso de uma carga próxima a uma esfera condutora, a carga imagem é posicionada de tal forma que o potencial na superfície da esfera seja zero, conforme a condição de contorno. A posição e o valor de são escolhidos para garantir que as condições de contorno sejam satisfeitas.

Passo 4

Vamos aplicar isso ao nosso problema. Temos uma carga localizada a uma distância do centro da esfera. Queremos encontrar a carga imagem e sua posição de forma que o potencial na superfície da esfera e que o potencial no infinito também seja zero.
Segundo o método da imagem para uma esfera, a carga imagem é dada por:
E a posição da carga imagem é:
Essas expressões garantem que o potencial na superfície da esfera seja cancelado pela contribuição da carga imagem.

Passo 5

Agora, vamos escrever o potencial total como a soma dos potenciais individuais da carga e da carga imagem :
Onde:
Aqui, e são as posições das cargas e , respectivamente.

Passo 6

Vamos verificar se esse potencial atende às condições de contorno. Primeiro, na superfície da esfera :
Isso acontece porque as contribuições das cargas e se cancelam na superfície da esfera, garantindo que o potencial seja zero ali.
Segundo, no infinito :
Ambas as contribuições dos potenciais das cargas tendem a zero no infinito, satisfazendo essa condição de contorno.

Resposta

Assim, mostramos que a solução da equação de Poisson fora da esfera, que satisfaz as condições de contorno de potencial nulo na superfície condutora e no infinito, é dada por:

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