Um aparelho eletrônico possui
componentes. Para
. Os componentes são produzidos com uma taxa de
de defeitos, independentemente entre os componentes. Para que o aparelho funcione corretamente no máximo 7 componentes podem apresentar defeitos dentro do aparelho. Qual a probabilidade de um aparelho funcionar corretamente?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no problema juntos! Temos um aparelho eletrônico com
componentes, onde
. Cada componente tem uma chance de
de ser defeituoso, e esses defeitos são independentes entre si. Para que o aparelho funcione direitinho, no máximo 7 componentes podem estar com defeito. Nosso objetivo aqui é descobrir qual a probabilidade desse aparelho funcionar corretamente, ou seja, ter até 7 componentes defeituosos.
Aqui, vamos usar um pouco de probabilidade, especialmente a distribuição binomial, que é perfeita para situações onde temos um número fixo de tentativas (neste caso, componentes), cada tentativa tem apenas dois resultados possíveis (defeituoso ou não), e a probabilidade de sucesso (defeito) é a mesma em cada tentativa.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender quantos componentes temos no total. Sabemos que o número total de componentes é
, e
é a soma de três termos
. Porém, sem mais informações sobre os valores de
, vamos assumir que
é um número fixo. Por exemplo, se
, então temos
componentes. Para simplificar, vamos considerar
como uma constante conhecida.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a distribuição binomial. A fórmula da probabilidade de ter exatamente
componentes defeituosos em
tentativas é:
Onde:
-
é o número total de componentes ( ), -
é o número de componentes defeituosos, -
é a probabilidade de um componente ser defeituoso ( ou ), -
é o coeficiente binomial, que calcula as combinações possíveis de defeitos em componentes.
Passo 4
Mas não queremos a probabilidade de exatamente 7 defeitos, mas sim de até 7 defeitos. Isso significa que precisamos somar as probabilidades de ter 0, 1, 2, …, até 7 defeitos. A fórmula fica assim:
Passo 5
Para calcular isso na prática, especialmente se
for grande, os cálculos podem ficar complicados. Nesses casos, podemos usar uma aproximação normal ou ferramentas de cálculo como calculadoras científicas ou software de estatística. Mas a essência está em somar todas as probabilidades individuais de ter de 0 a 7 defeitos.
Resposta
A probabilidade de um aparelho funcionar corretamente, ou seja, ter no máximo 7 componentes defeituosos, é dada por:
Para obter o valor numérico, substitua
pelo valor específico e calcule a soma das probabilidades para
até
.
Exercícios relacionados
Para a série
,
:
a) Calcular a variância;
b) O desvio-padrão;
c) O coeficiente de variação;
d) O coeficiente de assimetria;
e) O coeficiente de curtose.
a) Calcular a variância;
b) O desvio-padrão;
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154120132150231150105230240804819099205198210110100312250105150153 60180
a) Calcule o número de classes e a amplitude de cada classe usando os métodos de divisão vistos em sala;
b) Obtenha a média, a moda, a mediana, a variância e o desvio-padrão;
c) Construa o histograma.
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