Uma chapa de aço é cortada duas vezes para criar peças quadradas com 10 centímetros de largura. Devido a vibrações da máquina de corte a largura das peças resultantes é descrita por uma distribuição normal com média de 10 centímetros e desvio padrão de
milímetros, para cada uma das duas dimensões da peça. Para
. Sabendo que são aceitas apenas peças com menos de 1,5mm de erro em qualquer uma das duas dimensões. Qual é a probabilidade de a máquina produzir peças sem defeito?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma chapa de aço que é cortada duas vezes para formar peças quadradas de 10 centímetros de largura. Devido às vibrações da máquina, a largura das peças segue uma distribuição normal com média de 10 cm e desvio padrão de
milímetros para cada dimensão. Queremos calcular a probabilidade de a máquina produzir peças sem defeito, ou seja, com menos de 1,5 mm de erro em qualquer uma das duas dimensões.
Passo 2
Vamos começar convertendo todas as medidas para a mesma unidade. Sabemos que 10 centímetros equivalem a 100 milímetros. Portanto, a largura das peças segue uma distribuição normal com média (
) de 100 mm e desvio padrão (
) de
mm.
Passo 3
O desvio padrão
mm. Pelo enunciado,
. Sem valores específicos para
, vamos supor que cada
, então
. Assim,
mm.
Passo 4
Queremos que as peças tenham menos de 1,5 mm de erro em qualquer dimensão. Isso significa que a largura deve estar entre 100 mm - 1,5 mm e 100 mm + 1,5 mm, ou seja, entre 98,5 mm e 101,5 mm.
Passo 5
Para encontrar a probabilidade, usamos a distribuição normal padrão. Calculamos o valor
para 98,5 mm e 101,5 mm usando a fórmula:
Para 98,5 mm:
Para 101,5 mm:
Passo 6
Agora, queremos encontrar a probabilidade de
estar entre -5 e 5. Usando a tabela da distribuição normal padrão:
Sabemos que
é praticamente 1 e
é praticamente 0, portanto:
Resposta
A probabilidade de a máquina produzir peças sem defeito é aproximadamente
.