Apenas 1 em cada 10 pessoas de uma população tem tuberculose. Das pessoas que têm tuberculose, 80 % reagem positivamente ao teste Y, enquanto apenas 30 % dos que não têm tuberculose reagem positivamente. Uma pessoa da população é selecionada ao acaso, e o teste Y é aplicado. Qual é a probabilidade de que essa pessoa tenha tuberculose, se reagiu positivamente ao teste?
R. 8 / 35.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma população onde 1 em cada 10 pessoas (10%) tem tuberculose. Sabendo que:
  • 80% das pessoas com tuberculose testam positivo no teste Y.
  • 30% das pessoas sem tuberculose também testam positivo no teste Y.
Precisamos descobrir a probabilidade de uma pessoa ter tuberculose, dado que ela teve um resultado positivo no teste Y.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade condicional e o Teorema de Bayes.

Passo 2

Vamos definir os eventos:
  • : a pessoa tem tuberculose.
  • : a pessoa não tem tuberculose.
  • : o teste Y deu positivo.
Sabemos que:
  • (10%)
  • (90%)
  • (80%)
  • (30%)

Passo 3

Queremos encontrar P(T|Y) = P(Y|T) cdot P(T)P(Y) , ou seja, a probabilidade de a pessoa ter tuberculose dado que o teste deu positivo.
Para isso, usamos o Teorema de Bayes:
Mas primeiro precisamos calcular , a probabilidade total de dar positivo no teste.

Passo 4

Calculamos P(Y) = P(Y|T) cdot P(T) + P(Y|neg T) cdot P(neg T) usando a regra da probabilidade total:
P(Y) = 0,8 cdot 0,1 + 0,3 cdot 0,9
Substituindo os valores:
P(Y) = 0,08 + 0,27 = 0,35

Passo 5

Agora que temos P(T|Y) = 0,8 cdot 0,10,35 , podemos aplicar o Teorema de Bayes para encontrar P(T|Y) = 0,080,35 :
P(T|Y) = 835

Resposta

A probabilidade de a pessoa ter tuberculose, dado que reagiu positivamente ao teste, é .

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