Apenas 1 em cada 10 pessoas de uma população tem tuberculose. Das pessoas que têm tuberculose,
reagem positivamente ao teste
, enquanto apenas
dos que não têm tuberculose reagem positivamente. Uma pessoa da população é selecionada ao acaso, e o teste
é aplicado. Qual é a probabilidade de que essa pessoa tenha tuberculose, se reagiu positivamente ao teste?
R.
.
R.
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma população onde 1 em cada 10 pessoas (10%) tem tuberculose. Sabendo que:
- 80% das pessoas com tuberculose testam positivo no teste Y.
- 30% das pessoas sem tuberculose também testam positivo no teste Y.
Precisamos descobrir a probabilidade de uma pessoa ter tuberculose, dado que ela teve um resultado positivo no teste Y.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade condicional e o Teorema de Bayes.
Passo 2
Vamos definir os eventos:
-
: a pessoa tem tuberculose. -
: a pessoa não tem tuberculose. -
: o teste Y deu positivo.
Sabemos que:
-
(10%) -
(90%) -
(80%) -
(30%)
Passo 3
Queremos encontrar
, ou seja, a probabilidade de a pessoa ter tuberculose dado que o teste deu positivo.
Para isso, usamos o Teorema de Bayes:
Mas primeiro precisamos calcular
, a probabilidade total de dar positivo no teste.
Passo 4
Calculamos
usando a regra da probabilidade total:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora que temos
, podemos aplicar o Teorema de Bayes para encontrar
:
Resposta
A probabilidade de a pessoa ter tuberculose, dado que reagiu positivamente ao teste, é
.