Apenas 1 em cada 10 pessoas de uma população tem tuberculose. Das pessoas que têm tuberculose, reagem positivamente ao teste , enquanto apenas dos que não têm tuberculose reagem positivamente. Uma pessoa da população é selecionada ao acaso, e o teste é aplicado. Qual é a probabilidade de que essa pessoa tenha tuberculose, se reagiu positivamente ao teste?
R. .

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma população onde 1 em cada 10 pessoas (10%) tem tuberculose. Sabendo que:
  • 80% das pessoas com tuberculose testam positivo no teste Y.
  • 30% das pessoas sem tuberculose também testam positivo no teste Y.
Precisamos descobrir a probabilidade de uma pessoa ter tuberculose, dado que ela teve um resultado positivo no teste Y.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade condicional e o Teorema de Bayes.

Passo 2

Vamos definir os eventos:
  • : a pessoa tem tuberculose.
  • : a pessoa não tem tuberculose.
  • : o teste Y deu positivo.
Sabemos que:
  • (10%)
  • (90%)
  • (80%)
  • (30%)

Passo 3

Queremos encontrar , ou seja, a probabilidade de a pessoa ter tuberculose dado que o teste deu positivo.
Para isso, usamos o Teorema de Bayes:
Mas primeiro precisamos calcular , a probabilidade total de dar positivo no teste.

Passo 4

Calculamos usando a regra da probabilidade total:
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora que temos , podemos aplicar o Teorema de Bayes para encontrar :

Resposta

A probabilidade de a pessoa ter tuberculose, dado que reagiu positivamente ao teste, é .

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Você entrega a seu amigo uma carta, destinada à sua (seu) namorada(o), para ser colocada no correio. Entretanto, ele pode se esquecer com probabilidade 0,1 . Se não se esquecer, a probabilidade de que o correio extravie a carta é de 0,1 . Finalmente, se foi enviado pelo correio a probabilidade de que a namorada(o) não receba é de 0,1 .
(a) Qual é a probabilidade da(o) namorada(o) receber a carta?
(b) Qual é a probabilidade da(o) namorada(o) não receber a carta.
© Sua (seu) namorada(o) não recebeu a carta, qual é a probabilidade de seu amigo ter esquecido.
R.
Tem-se duas fórmulas distintas para estimar um parâmetro populacional . Para ajudar a escolher o melhor, simulou-se uma situação onde . Dessa população retiraram-se 1.000 amostras de dez unidades cada uma, e aplicaram-se ambas as fórmulas às dez unidades de cada amostra. Desse modo obtêm-se 1.000 valores para a primeira fórmula e outros 1.000 valores para a segunda fórmula , cujos estudos descritivos estão resumidos abaixo. Qual das duas fórmulas você acha mais conveniente para estimar . Por quê?
Fórmula 1 Fórmula 2
Var
Mediana Mediana
Moda Moda
Uma universidade tem 10 mil alunos dos quais 4 mil são considerados esportistas. temos ainda que 500 alunos são do curso de biologia diurno, 700 da biologia noturno, 100 são esportistas e da biologia diurno e 200 são esportistas e da biologia noturno. Um aluno é escolhido ao acaso e pergunta-se a probabilidade de:
(a) Ser esportista
(b) Ser esportista e aluno da biologia noturno.
© Não ser da biologia.
(d) Ser esportista ou aluno da biologia.
(e) Não ser esportista nem aluno da biologia.
Suponha que e são eventos mutuamente excludentes de um espaço amostral . Se e , calcule .
R.