Suponha que B1, B2 e B3 são eventos mutuamente excludentes de um espaço amostral Omega. Se P(Bj)=1 / 3 e P(A / Bj)=j6, j=1,2,3, calcule P(A).
R. 1 / 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre probabilidades condicionais e eventos mutuamente excludentes. Precisamos calcular a probabilidade de um evento acontecer, dado que temos três eventos e que não podem acontecer ao mesmo tempo (mutuamente excludentes) e que cobrem todo o espaço amostral . Para isso, vamos usar a lei da probabilidade total.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são eventos mutuamente excludentes. Isso significa que se um dos eventos P(B1) + P(B2) + P(B3) = 1 ocorre, os outros não podem ocorrer. Além disso, como esses três eventos cobrem todo o espaço amostral, a soma das probabilidades deles é 1:
Dado que para cada , isso confirma que são mutuamente excludentes e exaustivos.

Passo 3

Agora, sabemos que a probabilidade de P(A) = P(A | B1) cdot P(B1) + P(A | B2) cdot P(B2) + P(A | B3) cdot P(B3) dado é . A lei da probabilidade total nos diz que para calcular , devemos somar as probabilidades condicionais de dado cada multiplicadas pelas probabilidades de :

Passo 4

Vamos substituir os valores conhecidos na fórmula:
P(A) = ( 16 ) cdot ( 13 ) + ( 26 ) cdot ( 13 ) + ( 36 ) cdot ( 13 )

Passo 5

Simplificando cada termo:
P(A) = 118 + 218 + 318

Passo 6

Somando as frações:
P(A) = 1 + 2 + 318 = 618 = 13

Resposta

A probabilidade é .

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