Apenas 1 em cada 10 pessoas de uma população tem tuberculose. Das pessoas que têm tuberculose,
reagem positivamente ao teste
, enquanto apenas
dos que não têm tuberculose reagem positivamente. Uma pessoa da população é selecionada ao acaso, e o teste
é aplicado. Qual é a probabilidade de que essa pessoa tenha tuberculose, se reagiu positivamente ao teste?
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo e identificar o conteúdo que vamos precisar. Temos uma população onde 1 em cada 10 pessoas tem tuberculose. Queremos descobrir a probabilidade de uma pessoa ter tuberculose, dado que ela testou positivo no teste Y. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Bayes, que nos ajuda a encontrar probabilidades condicionais.
Passo 2
Primeiro, vamos definir os eventos:
-
: a pessoa tem tuberculose. -
: a pessoa não tem tuberculose. -
: o teste Y é positivo.
Sabemos que:
-
(probabilidade de ter tuberculose). -
(probabilidade de não ter tuberculose). -
(probabilidade de testar positivo se tem tuberculose). -
(probabilidade de testar positivo se não tem tuberculose).
Passo 3
Queremos encontrar
, a probabilidade de ter tuberculose dado que a pessoa testou positivo. Segundo o Teorema de Bayes:
Passo 4
Precisamos calcular
, a probabilidade de qualquer pessoa testar positivo. Isso pode ocorrer de duas maneiras:
- A pessoa tem tuberculose e o teste é positivo.
- A pessoa não tem tuberculose e o teste é positivo.
Então,
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, aplicamos o Teorema de Bayes com os valores encontrados:
Resposta
A probabilidade de que a pessoa tenha tuberculose, dado que reagiu positivamente ao teste Y, é aproximadamente
.