Apenas 1 em cada 10 pessoas de uma população tem tuberculose. Das pessoas que têm tuberculose, 80 % reagem positivamente ao teste Y, enquanto apenas 30 % dos que não têm tuberculose reagem positivamente. Uma pessoa da população é selecionada ao acaso, e o teste Y é aplicado. Qual é a probabilidade de que essa pessoa tenha tuberculose, se reagiu positivamente ao teste?

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo e identificar o conteúdo que vamos precisar. Temos uma população onde 1 em cada 10 pessoas tem tuberculose. Queremos descobrir a probabilidade de uma pessoa ter tuberculose, dado que ela testou positivo no teste Y. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Bayes, que nos ajuda a encontrar probabilidades condicionais.

Passo 2

Primeiro, vamos definir os eventos:
  • : a pessoa tem tuberculose.
  • : a pessoa não tem tuberculose.
  • : o teste Y é positivo.
Sabemos que:
  • (probabilidade de ter tuberculose).
  • (probabilidade de não ter tuberculose).
  • (probabilidade de testar positivo se tem tuberculose).
  • (probabilidade de testar positivo se não tem tuberculose).

Passo 3

Queremos encontrar P(T|Y) = P(Y|T) cdot P(T)P(Y) , a probabilidade de ter tuberculose dado que a pessoa testou positivo. Segundo o Teorema de Bayes:

Passo 4

Precisamos calcular P(Y) = P(Y|T) cdot P(T) + P(Y|neg T) cdot P(neg T) , a probabilidade de qualquer pessoa testar positivo. Isso pode ocorrer de duas maneiras:
  1. A pessoa tem tuberculose e o teste é positivo.
  2. A pessoa não tem tuberculose e o teste é positivo.
Então,
P(Y) = 0,8 cdot 0,1 + 0,3 cdot 0,9 = 0,08 + 0,27 = 0,35
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, aplicamos o Teorema de Bayes com os valores encontrados:
P(T|Y) = 0,8 cdot 0,10,35 = 0,080,35 approx 0,2286

Resposta

A probabilidade de que a pessoa tenha tuberculose, dado que reagiu positivamente ao teste Y, é aproximadamente .

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