Se P(A)=P(B)=P(A mid B)=1 / 2. Calcular P[(A cap B^c) cup(A^c cap B)].

Passo 1

Vamos ver o que o problema está pedindo. Temos dois eventos, e , com probabilidades conhecidas: e a probabilidade de acontecer dado que aconteceu, , também é . Precisamos calcular a probabilidade de que somente um desses eventos aconteça, ou seja, . Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade condicional e operações com eventos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é probabilidade condicional. A probabilidade de P(A mid B) = P(A cap B)P(B) acontecer dado que aconteceu é dada por:
Sabemos que e . Vamos usar isso para encontrar .

Passo 3

A partir da definição de probabilidade condicional:
P(A mid B) = P(A cap B)P(B) Rightarrow 12 = P(A cap B)12 Rightarrow P(A cap B) = 12 times 12 = 14
Então, .

Passo 4

Agora, vamos calcular a probabilidade dos eventos P(A cap B^c) = P(A) - P(A cap B) = 12 - 14 = 14 e P(A^c cap B) = P(B) - P(A cap B) = 12 - 14 = 14 .
Sabemos que:
E similarmente:

Passo 5

Como os eventos P[(A cap B^c) cup (A^c cap B)] = P(A cap B^c) + P(A^c cap B) = 14 + 14 = 12 e não podem ocorrer ao mesmo tempo (são mutuamente exclusivos), a probabilidade da união deles é a soma das probabilidades individuais.

Resposta

A probabilidade requerida é .

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