Aplicação: Crescimento Populacional: Sabendo que o crescimento da população de uma determinada colônia de bactérias é proporcional à população já existente pede-se:
b) Sabendo que
e que
determine a população em
.
b) Sabendo que
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma colônia de bactérias cuja população cresce proporcionalmente ao número de bactérias já existente. Isso significa que o crescimento é exponencial. O que queremos é descobrir quantas bactérias teremos no tempo
, sabendo que no tempo
havia 1000 bactérias e no tempo
havia 2718 bactérias. Para resolver isso, vamos usar a fórmula do crescimento exponencial e alguns passos de cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula que descreve o crescimento populacional exponencial. A equação diferencial que representa esse tipo de crescimento é:
Onde:
-
é a população no tempo . -
é a taxa de crescimento proporcional.
Para resolver essa equação, vamos integrar ambos os lados.
Passo 3
Integrando a equação diferencial, obtemos a solução geral para a população:
Aqui:
-
é a população inicial (no tempo ). -
é a base do logaritmo natural. -
é a taxa de crescimento que precisamos descobrir.
Passo 4
Agora, vamos usar as informações que temos para encontrar o valor de
. Sabemos que:
Vamos substituir esses valores na fórmula para encontrar
.
Primeiro, para
:
Agora, para
:
Para encontrar
, vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados:
Então,
.
Passo 5
Agora que temos
, podemos calcular a população no tempo
:
Sabemos que
. Então:
Resposta
A população de bactérias no tempo
será aproximadamente 7389 bactérias.
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Encontre a solução particular determinada pela condição inicial dada.
Equação de Euler. a) Explique o porquê de ser natural supor que a solução da equação diferencial ordinária, de segunda ordem, linear, homogênea e com coeficientes não constantes,
tem a forma
e mostre que esta suposição converte a EDO em uma equação do segundo grau em
.
Resolva as equações diferenciais
c) .
c)
b) Resolva o problema de valor inicial composto pela equação do item anterior e a condição
.