Aplicação: Crescimento Populacional: Sabendo que o crescimento da população de uma determinada colônia de bactérias é proporcional à população já existente pede-se:
b) Sabendo que N(0) = 1000 e que N(1) = 2718 determine a população em t = 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma colônia de bactérias cuja população cresce proporcionalmente ao número de bactérias já existente. Isso significa que o crescimento é exponencial. O que queremos é descobrir quantas bactérias teremos no tempo , sabendo que no tempo havia 1000 bactérias e no tempo havia 2718 bactérias. Para resolver isso, vamos usar a fórmula do crescimento exponencial e alguns passos de cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula que descreve o crescimento populacional exponencial. A equação diferencial que representa esse tipo de crescimento é:
Onde:
  • é a população no tempo .
  • é a taxa de crescimento proporcional.
Para resolver essa equação, vamos integrar ambos os lados.

Passo 3

Integrando a equação diferencial, obtemos a solução geral para a população:
Aqui:
  • é a população inicial (no tempo ).
  • é a base do logaritmo natural.
  • é a taxa de crescimento que precisamos descobrir.

Passo 4

Agora, vamos usar as informações que temos para encontrar o valor de . Sabemos que:
Vamos substituir esses valores na fórmula para encontrar .
Primeiro, para :
Agora, para :
Para encontrar , vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados:
Então, .

Passo 5

Agora que temos , podemos calcular a população no tempo :
Sabemos que . Então:

Resposta

A população de bactérias no tempo será aproximadamente 7389 bactérias.

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