Equação de Euler. a) Explique o porquê de ser natural supor que a solução da equação diferencial ordinária, de segunda ordem, linear, homogênea e com coeficientes não constantes,
tem a forma
e mostre que esta suposição converte a EDO em uma equação do segundo grau em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de Euler do tipo:
Essa equação é uma EDO de segunda ordem, linear, homogênea e com coeficientes que não são constantes. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre equações diferenciais de Euler, que são especiais porque temos uma técnica específica para resolvê-las. A gente vai assumir que a solução tem a forma
e ver como isso ajuda a transformar a equação original em uma equação quadrática em
.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução seja
. Agora, precisamos calcular as primeiras e segundas derivadas dessa função:
A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:
Passo 3
Agora, vamos substituir
,
e
na equação original:
Simplificando cada termo:
- O primeiro termo:
- O segundo termo:
- O terceiro termo já está em
:
Então, tudo fica assim:
Passo 4
Agora, vamos fatorar
que está em todos os termos:
Como
nunca é zero (para
), a expressão entre colchetes precisa ser igual a zero:
Simplificando a expressão:
Juntando os termos semelhantes:
Resposta
A suposição
transforma a equação de Euler na seguinte equação quadrática em
:
Exercícios relacionados
Encontre a solução particular determinada pela condição inicial dada.
Considere a equação diferencial
a) Sabendo que
é uma solução da EDO e que o wronskiano é
determine a) a segunda solução linearmente independente e b)
.
Encontre a solução particular determinada pela condição inicial dada.
Aplicação: Crescimento Populacional: Sabendo que o crescimento da população de uma determinada colônia de bactérias é proporcional à população já existente pede-se:
b) Sabendo que e que
determine a população em
.
b) Sabendo que