Equação de Euler. a) Explique o porquê de ser natural supor que a solução da equação diferencial ordinária, de segunda ordem, linear, homogênea e com coeficientes não constantes,
t^2 y''(t) + a t y'(t) + b y(t) = 0
tem a forma y(t) = t^lambda e mostre que esta suposição converte a EDO em uma equação do segundo grau em lambda.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de Euler do tipo:
Essa equação é uma EDO de segunda ordem, linear, homogênea e com coeficientes que não são constantes. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre equações diferenciais de Euler, que são especiais porque temos uma técnica específica para resolvê-las. A gente vai assumir que a solução tem a forma e ver como isso ajuda a transformar a equação original em uma equação quadrática em .

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução seja . Agora, precisamos calcular as primeiras e segundas derivadas dessa função:
A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:

Passo 3

Agora, vamos substituir , e na equação original:
Simplificando cada termo:
  • O primeiro termo:
  • O segundo termo:
  • O terceiro termo já está em :
Então, tudo fica assim:

Passo 4

Agora, vamos fatorar que está em todos os termos:
Como nunca é zero (para ), a expressão entre colchetes precisa ser igual a zero:
Simplificando a expressão:
Juntando os termos semelhantes:

Resposta

A suposição transforma a equação de Euler na seguinte equação quadrática em :

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