Encontre a solução particular determinada pela condição inicial dada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial dada por e uma condição inicial . O conteúdo que vamos usar aqui é equações diferenciais exatas. Vamos precisar verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma solução particular que satisfaça a condição inicial.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa equação. Podemos escrever a equação na forma:
onde:

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais de em relação a e de em relação a :
Como , a equação não é exata. Então, vamos procurar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 4

Vamos tentar encontrar um fator integrante que dependa só de . Suponhamos que o fator seja . Multiplicando a equação original por , queremos que:
seja exata. Isso implica que:
Calculando as derivadas:
Simplificando:
Para que isso seja válido para todos os , o coeficiente de deve ser zero, ou seja:
Isso não é possível a menos que , o que não é útil. Então, tentamos um fator integrante que dependa só de .

Passo 5

Vamos supor que o fator integrante seja . Multiplicando a equação por :
E queremos que:
Calculando as derivadas:
Simplificando:
Comparando os termos, percebemos que não conseguimos resolver facilmente para . Então, vamos tentar outro método: encontrar uma solução por separação de variáveis ou encontrar uma equação diferencial exata usando outra abordagem.

Passo 6

Observando a equação inicial:
Podemos reescrever isso como:
Dividindo ambos os lados por :
Isso sugere a substituição . Vamos fazer isso.

Passo 7

Com a substituição , temos . Derivando ambos os lados em relação a :
Substituindo na equação:
Simplificando:
Isolando :

Passo 8

Essa é uma equação diferencial separável. Podemos separar as variáveis e :
Integrando ambos os lados:
Calculando as integrais:
Multiplicando por -1:
Podemos renomear a constante para simplificar:

Passo 9

Lembrando que , substituímos de volta:
Simplificando:
Isolando :

Passo 10

Agora usamos a condição inicial para encontrar :
Como :
Então, .

Resposta

A solução particular da equação diferencial dada pela condição inicial é:

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Encontre a solução particular determinada pela condição inicial dada.
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