Encontre a solução particular determinada pela condição inicial dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial dada por
e uma condição inicial
. O conteúdo que vamos usar aqui é equações diferenciais exatas. Vamos precisar verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma solução particular que satisfaça a condição inicial.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da nossa equação. Podemos escrever a equação na forma:
onde:
Passo 3
Agora, precisamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
:
Como
, a equação não é exata. Então, vamos procurar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 4
Vamos tentar encontrar um fator integrante que dependa só de
. Suponhamos que o fator seja
. Multiplicando a equação original por
, queremos que:
seja exata. Isso implica que:
Calculando as derivadas:
Simplificando:
Para que isso seja válido para todos os
, o coeficiente de
deve ser zero, ou seja:
Isso não é possível a menos que
, o que não é útil. Então, tentamos um fator integrante que dependa só de
.
Passo 5
Vamos supor que o fator integrante seja
. Multiplicando a equação por
:
E queremos que:
Calculando as derivadas:
Simplificando:
Comparando os termos, percebemos que não conseguimos resolver facilmente para
. Então, vamos tentar outro método: encontrar uma solução por separação de variáveis ou encontrar uma equação diferencial exata usando outra abordagem.
Passo 6
Observando a equação inicial:
Podemos reescrever isso como:
Dividindo ambos os lados por
:
Isso sugere a substituição
. Vamos fazer isso.
Passo 7
Com a substituição
, temos
. Derivando ambos os lados em relação a
:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Isolando
:
Passo 8
Essa é uma equação diferencial separável. Podemos separar as variáveis
e
:
Integrando ambos os lados:
Calculando as integrais:
Multiplicando por -1:
Podemos renomear a constante
para simplificar:
Passo 9
Lembrando que
, substituímos de volta:
Simplificando:
Isolando
:
Passo 10
Agora usamos a condição inicial
para encontrar
:
Como
:
Então,
.
Resposta
A solução particular da equação diferencial dada pela condição inicial
é: